CAP LOTO

Avec quelle équation calcule t-on la probabilité de gain ?

 
Le calcul de probabilité de gain est basé sur la loi hypergéométrique souvent notée H(N,m,n). Dans le cas d'une loterie classique, sur N = 49 numéros, n = 6 sont tirés lors du tirage officiel, le joueur peut en choisir, par exemple, m = 6.
 
Le nombre de bons numéros obtenus suit alors la loi hypergéométrique de paramètres H(49,6,6). Si la variable aléatoire X est le nombre de bons numéros, elle prend la valeur k avec la probabilité suivante :
 

 
Nous allons expliquer cela de manière plus simple ci-dessous...
 

Comment calculer les chances de gagner le gros lot

 
Les chances que vous avez de gagner au rang le plus fort, sont de 1 contre la totalité des combinaisons possibles.
Il faut donc connaître le nombre de combinaisons possibles. Voici comment l'on peut procéder.
 
Loterie 6/49 classique (comme l'Ancien Loto Français).
Dans une 6/49 classique, les combinaisons contiennent 6 numéros à choisir parmi 49 numéros.
La factorielle utilisée pour effectuer le calcul s'écrit donc C⁶₄₉.
 
Cela se calcule ainsi :
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 13 983 816 combinaisons.
Vos chances de gagner le gros lot au Loto français sont donc de 1 contre 13 983 816.
 
EuroMillions.
Les combinaisons contiennent 5 numéros à choisir parmi 50 numéros, soit C⁵₅₀.
Nous avons aussi les combinaisons possibles avec les Etoiles, composées de 2 numéros à choisir parmi 9, soit C²₉.
Nous posons par conséquent :
C⁵₅₀ x C²₉
 
Ce qui donne :
[ (50 x 49 x 48 x 47 x 46) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (9 x 8) / (2 x 1) ]
Nous obtenons finalement :
2 118 760 x 36 = 76 275 360 combinaisons.
Vos chances de toucher le gros lot à EuroMillions sont de 1 contre 76 275 360...
Note : les Etoiles forment un ensemble de combinaisons indépendant.
 
Nouveau Loto Français.
Les combinaisons contiennent 5 numéros à choisir parmi 49 numéros, soit C⁵₄₉.
Nous avons aussi les combinaisons possibles avec les N°Chance, composées de 1 numéro à choisir parmi 10, soit C¹₁₀.
Nous posons par conséquent :
C⁵₄₉ x C¹₁₀
 
Ce qui donne :
[ (49 x 48 x 47 x 46 x 45) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (10) / (1) ]
Nous obtenons finalement :
1 906 884 x 10 = 19 068 840 combinaisons.
Vos chances de toucher le gros lot au Nouveau Loto sont de 1 contre 19 068 840...
Note : les N°Chance forment un ensemble de combinaisons indépendant, comme pour les Etoiles de l'EuroMillions.
 
Rapido.
Les combinaisons contiennent 8 numéros à choisir parmi 20 numéros, soit C⁸₂₀.
Nous avons aussi les combinaisons possibles avec la grille B, composées de 1 numéro à choisir parmi 4, soit C¹₄.
Nous posons par conséquent :
C⁸₂₀ x C¹₄
 
Ce qui donne :
[ (19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12) / (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (1 x 4) / (1 x 1) ]
Nous obtenons finalement :
125 970 x 4 = 503 880 combinaisons.
Vos chances de toucher le gros lot au Rapido sont de 1 contre 503 880...
Note : comme pour l'EuroMillions, les numéros de la grille B forment un ensemble de combinaisons indépendant des numéros de la grille A.
 

Calculer le nombre de combinaisons avec un nombre de numéros donné

 
Supposons que nous voulions calculer la totalité des combinaisons possibles avec 18 numéros dans une loterie 6/49. Pour cela, comme plus haut, nous utiliserons des factorielles.
 
Premier exemple, combien peut-on faire de combinaisons avec 18 numéros ?
On pose C⁶₁₈ soit
(18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 18 564 combinaisons.
 
Cela signifie que, si les 6 numéros gagnants sont contenus parmi les 18 numéros joués, alors la combinaison gagnante sera présente parmi les 18 564 (puisque nous aurons joué la totalité des combinaisons possibles avec les 18 numéros).
 
Attention, c'est financièrement risqué de jouer autant de combinaisons !
 
Si vous voulez utiliser l'idée ci-dessus, employez Les systèmes réducteurs de mise qui permettent de diminuer le nombre de grilles à jouer.
 
Vous aurez remarqué que, dans la factorielle C⁶₁₈, 6 est le nombre de chiffres contenus dans la combinaison, et 18 est le nombre de numéros utilisés.
Cette factorielle peut donc s'utiliser pour des loteries où il y a plus de 6 chiffres dans une combinaison, il suffira de remplacer le 6 par le nombre de numéros contenus.
 
Autre exemple, combien peut-on faire de combinaisons avec 10 numéros ?
On pose C⁶₁₀ soit
(10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 210 combinaisons.
 
Encore un exemple, combien peut-on faire de combinaisons avec 7 numéros ?
On pose C⁶₇ soit
(7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 7 combinaisons.
 
Cela signifie également que 1 grille multiple = 1 ensemble de grilles simples.
En effet, la factorielle d'une grille multiple de 7 numéros s'écrit C⁷₇ (= 1 grille), mais ausi C⁶₇ (= 7 grilles simples).
La factorielle d'une grille multiple de 10 numéros s'écrit C¹⁰₁₀ (1 grille), mais aussi C⁶₁₀ (= 210 grilles simples).
La raison est que 6 numéros seulement sont tirés dans une 6/49 (et non pas 7 ou 10).
Cela ouvre beaucoup de perspectives... et est également transposable pour le Nouveau Loto Français.
 

1 chance contre 57 ou 1 chance sur 61 pour 3 numéros ?

 
Selon les sites web, les chances de gagner à 3 numéros sont, soit de 1 sur 57, soit de 1 sur 61. Parfois, le chiffre de 1 contre 18 424 est même avancé.
Lesquels ont raison ? Où est la vérité ?
 
Pour le savoir, il faut d'abord calculer le nombre de combinaisons gagnantes (contenant 3 bons numéros parmi les 6).
Par conséquent, nous posons :
C³₆ x C^6-3_49-7 = 229 600
 
Explication
C³₆ donne le nombre de suites de 3 numéros que peut contenir une combinaison de 6 :
(6 x 5 x 4) / (3 x 2 x 1) = 20
 
C^6-3_49-7 donne le nombre total de suites de 3 numéros possibles (sans suite en double) :
[ (42 x 41 x 40) ] / [ (3 x 2 x 1 ) ] = 11 480
 
Résultat :
20 x 11 480 = 229 600 combinaisons contenant 3 bons numéros parmi 6.
 
Enfin, il ne reste plus qu'une dernière opération à poser, destinée à connaître la probabilité.
Le nombre total de combinaisons possibles étant C⁶₄₉ = 13 983 816, nous posons
13 983 816 / 229 600 et obtenons 60,9051.
 
Les chances de gagner à 3 numéros sont donc de 1 contre 61 à l'arrondi.
 
 
Dans ce cas, d'où vient l'erreur de ceux qui donnent la valeur de 1 contre 57 ? C'est très simple.
 
Ils ont calculé C³₆ x C^6-3_49-6 = 246 820 et obtenu 13 983 816 / 246 820 = 56,6559 soit 1 chance contre 57 à l'arrondi.
 
C'est parce qu'ils n'ont pas tenu compte de la présence du numéro complémentaire, car ils ont posé
C^6-3_49-6 au lieu de C^6-3_49-7
 
Leur erreur provient donc de l'oubli du numéro complémentaire.
 
Pour ceux qui indiquent le chiffre de 1 contre 18 424, ils ont retenu le nombre de triplettes (suites de 3 numéros) possibles avec 49 numéros, ce qui est inexact et va faire mentir, par conséquent, tous les autres calculs qu'ils ont bâti là-dessus.
 
La meilleure preuve en est que le record du monde actuel garantissant 3 numéros à coup sûr avec 163 grilles, couvre les 13 983 816 combinaisons du Loto en seulement 3007 triplettes (et non pas 18 424)... Ce que l'on peut, d'ailleurs, contrôler avec le logiciel Cap Loto.
 

Comment calculer les chances de gagner à chacun des rangs (4, 5, 6 gagnants et les autres)

 
Les exemples qui suivent sont pour une loterie 6/49 classique. Mais on peut utiliser le même principe pour les autres jeux de tirage.
 
Comment calculer les chances à 4 numéros :
Il faut poser : C⁴₆ x C^6-4_49-7 = 12 915, puis 13 983 816 / 12 915 = 1082,7577 soit 1 chance contre 1083 à l'arrondi.
 
Comment calculer les chances à 4 numéros + Complémentaire :
Il faut poser : C⁴₆ x C^(6-4)-1_49-7 = 630, puis 13 983 816 / 630 = 22 196,53337 soit 1 chance contre 22 197 à l'arrondi.
 
Comment calculer les chances à 5 numéros :
Il faut poser : C⁵₆ x C^6-5_49-7 = 252, puis 13 983 816 / 252 = 55 491,333 soit 1 chance contre 55 491 à l'arrondi.
 
Sur ces bases, nous pouvons établir le tableau suivant des chances, valable lui aussi pour une 6/49 classique :
 

Tableau des chances (Loterie 6 / 49 + 1 C)
Numéros	Chances	Grilles gagnantes
6	1 sur 13 983 816	1 sur 13 983 816
5+C	1 sur 2 330 636	6 sur 13 983 816
5	1 sur 55 491	252 sur 13 983 816
4+C	1 sur 22 197	630 sur 13 983 816
4	1 sur 1 083	12 915 sur 13 983 816
3+C	1 sur 812	17 220 sur 13 983 816
3	1 sur 61	229 600 sur 13 983 816
Au total	1 sur 54	260 624 sur 13 983 816
Source : Cap Loto

Il est tout à fait possible de créer des tableaux équivalents pour le Keno, l'EuroMillions, le Rapido et tous les autres Lotto.
 
Attention : 1 chance sur 54 ne signifie pas qu'il suffit de jouer 54 fois pour être certain de gagner !
Par exemple, vous pouvez jouer 54 fois de suite, tout en n'ayant à aucune reprise une des 260 624 combinaisons gagnantes au prochain tirage (puisqu'il y a 13 983 816 combinaisons possibles).
 
Il s'agit du rapport entre le nombre de combinaisons totales et le nombre de combinaisons gagnantes pour le rang calculé.
 
Note importante :
Pour une 6/49, il faut 163 grilles d'un système réducteur en couverture totale (soit 49 numéros) pour être certain de gagner quelque chose.
Vous trouverez ce système dans le logiciel Cap Loto, en cliquant sur le volet "Grilles en un éclair", dans les choix de la ListBox placée en dessous de "Choisissez la matrice". Vous y trouverez également des systèmes pour d'autres jeux de tirage, comme pour le Nouveau Loto Français (en 34 grilles seulement), ou pour le Rapido (16 grilles).
 

Comment calculer les probabilités de gain des grilles simples et multiples

 
Pour calculer les probabilités de gain des grilles simples et multiples, il faut d'abord faire le tableau du nombre des grilles gagnantes (exemple pour une loterie 6 / 49 + 1 numéro complémentaire) :
 

Tableau des grilles gagnantes (6/49 + C)
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1	43	906	12 341	123 410
5+C	6	252	5 166	68 880	671 580
5	252	5 166	68 880	671 580	5 104 008
4+C	630	12 915	172 200	1 678 950	12 760 020
4	12 915	172 200	1 678 950	12 760 020	78 686 790
3+C	17 220	229 600	2 238 600	17 013 360	104 915 720
3	229 600	2 238 600	17 013 360	104 915 720	539 566 560
Total C. gagnantes :	260 624	2 658 776	21 178 059	137 120 851	741 828 088
Total C. possibles :	13 983 816	85 900 584	450 978 066	2 054 455 634	8 217 822 536
Source : Cap Loto

Voici quelques exemples des factorielles indispensables pour calculer :
 
  Nombre total de combinaisons possibles avec 6 numéros : factorielle C⁶₄₉ qui se calcule ainsi
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 13 983 816 combinaisons.
 
  Nombre de combinaisons total possible avec 7 numéros : factorielle C⁷₄₉
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43) / (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 85 900 584 combinaisons.
 
  4 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres :
C⁴₆ x C^6-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C²₄₂.
 
On pose donc [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41) / (2 x 1)], soit 15 x 861 = 12 915 combinaisons.
 
  4 numéros avec des combinaisons de longueur 7 chiffres :
C⁴₆ x C^7-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C³₄₂.
 
On pose donc [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41 x 40) / (3 x 2 x 1)], soit 15 x 11 480 = 172 200 combinaisons.
 
  4 numéros avec des combinaisons de longueur 8 chiffres :
C⁴₆ x C^8-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C⁴₄₂.
 
On pose donc [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41 x 40 x 39) / (4 x 3 x 2 x 1)], soit 15 x 111 930 = 1 678 950 combinaisons.
 
  4 numéros + complémentaire avec des combinaisons de longueur 6 chiffres :
C⁴₆ x C^(6-4)-1_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C¹₄₂.
 
On pose donc [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42) / (1)], soit 15 x 42 = 630 combinaisons.
 
  5 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres :
C⁵₆ x C^6-5_49-7 qui se réduit à C⁵₆ x C¹₄₂.
 
On pose donc [(6 x 5 x 4 x 3 x 2) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)] x [(42) / (1)], soit 6 x 42 = 252 combinaisons.
 
 
Ensuite, le nombre de grilles gagnantes est à diviser par le nombre total de combinaisons possibles de la même colonne.
 
Exemple pour 4 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres : 13 983 816 / 12 915 = 1082,75 (arrondi à 1083).
Exemple pour 4 numéros + Complémentaire avec des combinaisons de longueur 7 chiffres : 13 983 816 / 630 = 22196,5333 (arrondi à 22197).
 
Lorsque l'on fait cela pour toutes les cellules du tableau, on obtient alors le tableau suivant des probabilités de gain :
 

Tableau des probabilités de gain (6/49 + C)
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1 sur 13 983 816	1 sur 1 997 688	1 sur 499 422	1 sur 166 474	1 sur 66 590
5+C	1 sur 2 330 636	1 sur 340 875	1 sur 87 297	1 sur 29 827	1 sur 12 237
5	1 sur 55 491	1 sur 16 628	1 sur 6 547	1 sur 3 059	1 sur 1 610
4+C	1 sur 22 197	1 sur 6 651	1 sur 2619	1 sur 1 224	1 sur 644
4	1 sur 1 083	1 sur 499	1 sur 269	1 sur 161	1 sur 104
3+C	1 sur 812	1 sur 374	1 sur 201	1 sur 121	1 sur 78
3	1 sur 61	1 sur 38	1 sur 27	1 sur 20	1 sur 15
Au total :	1 sur 54	1 sur 32	1 sur 21	1 sur 15	1 sur 11
Source : Cap Loto

Si l'on regarde ce tableau, on s'aperçoit que 1 grille multiple donne plus de chances que 1 grille simple.
Toutefois, cela ne signifie pas qu'il soit préférable de jouer des grilles multiples...!
 

Comment calculer les chances à l'euro misé

 
Pour faire cette comparaison, nous devons ramener la probabilité à l'euro misé.
Nous avons besoin, pour cela, du prix :
 

Prix d'une grille (Ancien Loto Français en Juillet 2007) :
	à 6 n°	à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
Mise (EUR)	0,60	4,20	16,80	50,40	126

Ensuite, nous avons besoin du Tableau des probabilités de gain vu précédemment, multiplié par le prix de la grille correspondante ci-dessus, et l'on obtiendra la probabilité à l'euro misé (arrondi) :
 

Tableau des chances à l'euro misé (Ancien Loto France)
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1 / 8 390 290	1 / 8 390 290	1 / 8 390 290	1 / 8 390 290	1 / 8 390 290
5+C	1 / 1 398 382	1 / 1 431 676	1 / 1 466 595	1 / 1 503 260	1 / 1 541 805
5	1 / 33 295	1 / 69 838	1 / 109 995	1 / 154 181	1 / 202 869
4+C	1 / 13 318	1 / 27 935	1 / 43 998	1 / 61 672	1 / 81 148
4	1 / 650	1 / 2 095	1 / 4 513	1 / 8 115	1 / 13 159
3+C	1 / 487	1 / 1 571	1 / 3 384	1 / 6 086	1 / 9 869
3	1 / 37	1 / 161	1 / 445	1 / 987	1 / 1 919
Au total :	1 / 32	1 / 136	1 / 358	1 / 755	1 / 1396
Source : Cap Loto

En regardant ce tableau, on s'aperçoit que :
  pour 6 numéros, les grilles multiples ne donnent pas plus de chances à l'euro misé, que les grilles simples.
  pour les autres rangs, les grilles simples sont plus avantageuses que les grilles multiples.
 

Comment faciliter les calculs

 
Comme vous l'aurez remarqué, effectuer tous ces calculs est très fastidieux pour un joueur normalement constitué.
 
Egalement, quelques étudiants, dont les professeurs ont utilisé le thème du Loto pour les calculs de probabilités, ne manquent pas de nous demander parfois des conseils.
 
Donc, afin de faire gagner du temps à tout le monde, nous avons créé un fichier Excel qui permet de calculer facilement les factorielles des nombres de combinaison.
 
Vous pourrez le télécharger en cliquant sur ce lien : Nombre de combinaisons.
 
Merci Cap Loto...
 

Conclusion

 
Bien que ceci ne concerne, après tout, que des jeux de tirages, cela permet de faire de jolis calculs de probabilité, et d'être parfaitement informés de nos chances réelles.
 
On pourrait se demander, d'ailleurs, pour quelle raison les organisateurs de loteries ne communiquent pas systématiquement les probabilités de gain, et cela pour chacun de leurs jeux. La peur que l'on en sache trop, peut-être ? Car c'est après avoir effectué ce type de calculs que, en général, l'on utilise les systèmes réducteurs de mise, afin d'améliorer sa manière de jouer.
 
En effet, le tableau des probabilités de gain à l'euro misé montre que les grilles simples sont plus avantageuses que les grilles multiples.
Pour cette raison, beaucoup de joueurs préfèrent jouer plusieurs grilles simples à l'aide d'un système réducteur de mise...
Ce principe est également valable pour le Keno, l'EuroMillion, le Rapido et tout type de Lotto.
 
Si vous souhaitez employer les systèmes réducteurs de mise, et également disposer de statistiques sur les jeux de tirage, avec des techniques de pronostiquage et tester ce qu'elles auraient donné, vous pouvez utiliser par exemple un logiciel tel que Cap Loto Pro.