Lorsque nous allions à l'école et résolvions un problème de mathématiques, cela ne s'accompagnait pas d'espérances de gain !

Voici comment calculer nos probabilités au Loto, Keno, EuroMillions et Lotto en général.

Au sommaire de cette page :

1. Avec quelle équation calcule t-on la probabilité de gain ?
2. Comment calculer les chances de gagner le jackpot
3. Calcul sur loterie 6/49 classique
4. Calcul sur EuroMillions
5. Calcul sur Loto Français
6. Calcul sur Rapido
7. Peut-on modifier les probabilités pour gagner plus souvent ?
8. Calculer les combinaisons avec un nombre de numéros donné
9. Qu'est-ce qu'une grille multiple ?
10. Bulletin multiple contre bulletin simple
11. Peut-on économiser par rapport à un bulletin multiple ?
12. Faites une pause
13. 1 chance contre 57 ou 1 chance sur 61 pour 3 numéros ?
14. Comment calculer les chances à tous les rangs
15. Une combinaison gagnante à chaque tirage, possible ?
16. Rapprochement avec la loi hypergéométrique
17. Calcul de probabilités des grilles simples et multiples
18. Comment calculer les chances au prix misé
19. Comment faciliter les calculs
20. Le jeu, le hasard et les hommes

Le calcul de probabilité de gain est basé sur la loi hypergéométrique souvent notée ainsi : H(N,m,n).

Dans le cas d'une loterie classique, sur N = 49 numéros, n = 6 sont gagnants lors du tirage. L'ensemble m est le nombre de numéros choisis par le joueur. S'il en choisit 8, cela s'écrira alors : H(49,8,6).

Dans ce cas, quelle sera la probabilité de gain ? Elle prendra la valeur k, X étant le nombre de bons numéros :

Nous allons expliquer cela de manière plus humaine ci-dessous...

La combinaison du jackpot se trouve parmi toutes les combinaisons possibles.

Donc, le principe est simple. Il faut calculer le nombre de combinaisons possibles. Voici comment faire.

La plupart des loteries mondiales sont des 6/49. L'ancien Loto français l'était. Nous utiliserons souvent l'exemple des 6/49. Ce sera plus facile à comprendre pour ceux d'entre vous qui commencent.

Dans une 6/49, les combinaisons contiennent 6 numéros à choisir parmi 49. Les 6 numéros sont compris dans une série unique (1 à 49).

Par convention, la factorielle utilisée pour effectuer le calcul sera C⁶₄₉.

Pourquoi 6 ? Parce que les combinaisons contiennent 6 numéros. Pourquoi 49 ? Parce que les numéros sont au nombre de 49.

Quel est le résultat de cette factorielle ? Cela se calcule ainsi :
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 13 983 816 combinaisons.

Vos chances de gagner le jackpot dans une 6/49 sont donc de 1 contre 13 983 816.

Voilà... Si vous n'avez jamais dépassé le certificat d'études primaires, vous savez maintenant comment réussir un calcul factoriel. Même si vous ne disposez que d'une petite calculette de supermarché...

Les combinaisons contiennent 5 numéros à choisir parmi 50 numéros, soit C⁵₅₀.

Egalement, nous avons les combinaisons possibles avec les étoiles. Elles sont composées de 2 numéros à choisir parmi 12, soit C²₁₂.

Par conséquent, nous posons : C⁵₅₀ x C²₁₂

Ce qui donne :
[ (50 x 49 x 48 x 47 x 46) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (12 x 11) / (2 x 1) ]

Nous obtenons ainsi :
2 118 760 x 66 = 139 838 160 combinaisons.

Vos chances de toucher le jackpot à EuroMillions sont de 1 contre 139 838 160.

Remarques

1. Les Etoiles forment un ensemble de combinaisons complètement indépendant de la combinaison principale.
2. Deux anciennes formules de EuroMillions ont existé : la première avec seulement 9 étoiles et 76 275 360 combinaisons ; la deuxième avec 11 étoiles et 116 531 800 combinaisons.

Les combinaisons contiennent 5 numéros à choisir parmi 49 numéros, soit C⁵₄₉.

Egalement, nous avons les combinaisons possibles avec les N°Chance. Elles sont composées de 1 numéro à choisir parmi 10, soit C¹₁₀.

Par conséquent, nous posons : C⁵₄₉ x C¹₁₀

Ce qui donne :
[ (49 x 48 x 47 x 46 x 45) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (10) / (1) ]

Nous obtenons ainsi :
1 906 884 x 10 = 19 068 840 combinaisons.

Vos chances de toucher le jackpot au Loto français sont de 1 contre 19 068 840.

Remarques

1. Les N°Chance forment un ensemble de combinaisons indépendant, comme pour les étoiles EuroMillions.
2. L'ancienne formule du Loto français était une 6/49 avec complémentaire et 13 983 816 combinaisons, depuis sa création en mai 1976 jusqu'en octobre 2008.

Les combinaisons contiennent 8 numéros à choisir parmi 20 numéros, soit C⁸₂₀.

Egalement, nous avons les combinaisons possibles avec la grille B. Elles sont composées de 1 numéro à choisir parmi 4, soit C¹₄.

Par conséquent, nous posons : C⁸₂₀ x C¹₄

Ce qui donne :
[ (20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13) / (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) ] x [ (1 x 4) / (1 x 1) ]

Nous obtenons ainsi :
125 970 x 4 = 503 880 combinaisons.

Vos chances de toucher le jackpot au Rapido sont de 1 contre 503 880.

Remarque

Comme pour EuroMillions, les numéros de la grille B forment un ensemble de combinaisons indépendant des numéros de la grille A.

A ce qui précède, tout le monde l'aura compris : pour modifier les probabilités, il suffit de réduire le volume de combinaisons, donc de réduire le nombre de numéros.

C'est parfaitement possible, mais seul l'opérateur de la loterie en a le pouvoir. Pas vous... Il est maître des chances qu'il vous vend.

Il en découle que, quels que soient les numéros composant votre combinaison de Loto français, vos chances seront toujours de 1 contre 5,98 au total, et 1 contre 19 millions pour le jackpot.

Si vous jouez davantage de numéros, vos probabilités de gain augmenteront puisque vous aurez joué plusieurs combinaisons, mais les chances unitaires par grille resteront les mêmes.

Remarque :
il est possible d'obtenir une combinaison gagnante à coup sûr avec certains systèmes réducteurs de mise. Il s'agit de techniques de réduction combinatoire. Si vous êtes professeur de maths, ne pariez jamais contre un élève prétendant que c'est possible. La raison en est montrée ici.

Maintenant, supposons que nous voulions calculer la totalité des combinaisons possibles avec 18 numéros dans une loterie 6/49.

Pourquoi faire, me demanderez-vous ? « Elémentaire, mon cher Watson... »: Supposons que je connaisse une sélection de 18 numéros contenant tous les gagnants. Dans ce cas, toucher le jackpot ne poserait aucun problème, certes. Mais combien de combinaisons faudrait-il jouer ?

Calculer ce nombre permet, notamment, de connaître :
- la mise nécessaire ;
- la taille de l'ensemble à réduire, si l'on voulait effectuer une réduction de combinaisons pour diminuer la mise.

Premier exemple : combien de combinaisons avec 18 numéros ?

On pose C⁶₁₈ soit
(18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 18 564 combinaisons.

Si les 6 numéros gagnants sont contenus parmi les 18 numéros joués, alors la combinaison gagnante sera présente parmi les 18 564. C'est logique, puisque nous aurons joué la totalité des combinaisons possibles avec les 18 numéros.

Attention, c'est financièrement risqué de jouer autant de combinaisons ! Utilisez les systèmes réducteurs de mise si vous voulez réduire le nombre de grilles à jouer.

Dans la factorielle C⁶₁₈, vous aurez remarqué que 6 est le nombre de chiffres contenus dans la combinaison. 18 est le nombre de numéros utilisés. Par conséquent, cette factorielle est utilisable pour d'autres loteries. Il suffit de remplacer 6 par le nombre de numéros contenus dans une combinaison.

Autre exemple : combien de combinaisons avec 10 numéros ?

On pose C⁶₁₀ soit
(10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 210 combinaisons.

Certaines loteries proposent des grilles multiples. Il s'agit de bulletins permettant de jouer des combinaisons comprenant plus de numéros que la combinaison gagnante.

Par exemple, dans une loterie 6/49, les bulletins multiples permettent - généralement - de jouer des combinaisons allant de 7 à 10 numéros (voire plus), alors que la combinaison gagnante contient uniquement 6 numéros. Beaucoup de joueurs se tournent vers cette option. Ils partent du principe que, plus l'on joue de numéros, plus l'on augmente les chances d'emporter le jackpot.

Mais c'est beaucoup plus cher... Le prix est tel qu'un joueur débutant n'arrive pas à comprendre le « pourquoi » d'une pareille différence de prix, car une seule combinaison multiple peut coûter 210 fois plus cher qu'une combinaison sur un bulletin simple.

Ils se posent alors des questions sur leur société de loterie : le prix de la combinaison multiple est-il vraiment honnête ? Ils ne savent pas forcément le calculer. Parfois considérés avec dédain par de plus ignorants qu'eux, ils gardent un doute, même s'ils ne le disent pas.

Je vais donc expliquer la chose de la manière la plus simple. Beaucoup de Cap-Lotonautes m'ont, en effet, écrit sur ce sujet, où il semblerait qu'un certain nombre d'entre eux ait des difficultés.

Combien de combinaisons contenant 7 numéros, peut-on faire avec 7 numéros ?

La factorielle s'écrit C⁷₇ ce qui donne :
(7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) / (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 1 combinaison.

Exemple : Avec 01 02 03 04 05 06 07, une seule combinaison de 7 numéros, sans doublons, est possible.
Il est impossible de faire, sans doublons, une combinaison plus longue que le nombre de numéros : vous ne pouvez pas faire 01 02 03 04 05 06 07 08 si vous ne pouvez aller que jusqu'à 07.

Combien de combinaisons contenant 6 numéros sont-elles possibles avec 7 numéros ?

On pose la factorielle C⁶₇ ce qui donnera :
(7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 7 combinaisons.

Pour preuve, ces combinaisons sont :
- C 1 : 01 02 03 04 05 06
- C 2 : 01 02 03 04 05 07
- C 3 : 01 02 03 04 06 07
- C 4 : 01 02 03 05 06 07
- C 5 : 01 02 04 05 06 07
- C 6 : 01 03 04 05 06 07
- C 7 : 02 03 04 05 06 07

Cet ensemble de combinaisons est contenu dans la combinaison 01 02 03 04 05 06 07. Il s'ensuit que C⁷₇ en 1 combinaison, contient C⁶₇ en 7 combinaisons.

Maintenant, quel est le prix de la grille multiple ? Supposons que le prix d'une grille simple soit de 0,50. Puisque la grille multiple en contient 7 simples, alors le prix est de 0,50 x 7 = 3,50. Facile à comprendre.

Combien de combinaisons contenant 6 numéros, peut-on faire avec 10 numéros ?

La factorielle d'une grille multiple de 10 numéros s'écrit C⁶₁₀ = 1 grille.
Suivant le principe de l'exemple précédent, on peut aussi l'écrire C⁶₁₀ = 210 grilles simples.

Le prix d'une grille multiple sera alors celui de 210 grilles simples.

Conclusion

Une grille multiple = totalité des grilles simples possibles avec un nombre de numéros donné.

Remarque

Pour obtenir la liste des combinaisons possibles avec le logiciel Cap Loto :

1. Cliquez sur le volet Systèmes réducteurs.
2. Sélectionnez la longueur de combinaison (nombre de numéros contenus dans une combinaison gagnante, dans cet exemple 6).
3. Sélectionnez le nombre de numéros à jouer (par exemple 10).
4. Cliquez sur le bouton Créer le système total.

Puisqu'une grille multiple = totalité des grilles possibles avec un nombre de numéros donné, est-il possible de jouer le même nombre de numéros pour moins cher qu'un bulletin multiple ?

Oui, absolument. Il suffit de jouer moins de grilles simples que la totalité équivalente à une grille multiple.

Par exemple, au lieu de jouer :
- C 1 : 01 02 03 04 05 06
- C 2 : 01 02 03 04 05 07
- C 3 : 01 02 03 04 06 07
- C 4 : 01 02 03 05 06 07
- C 5 : 01 02 04 05 06 07
- C 6 : 01 03 04 05 06 07
- C 7 : 02 03 04 05 06 07

...à la place, je pourrais jouer :
- C 1 : 01 02 03 04 05 06
- C 7 : 02 03 04 05 06 07

...auquel cas, j'aurais joué autant de numéros (7), mais pour beaucoup moins cher qu'un bulletin multiple, ou son équivalent en 7 grilles.

C'est parfaitement transposable pour le Loto Français malgré les N°Chance, pour EuroMillions malgré les étoiles, ainsi que pour tout autre Lotto dans le monde.

C'est aussi un principe des systèmes réducteurs de mise, notamment pour les garanties. En effet, jouer 2 grilles au lieu de 7 ne donne pas la même couverture, d'où les garanties intermédiaires que nous étudierons plus tard.

Arrivé à ce point de votre lecture, faites une pause. En effet, nous allons entrer maintenant dans le vif du sujet. Mieux vaut que vous le fassiez l'esprit reposé, après avoir « digéré » ce qui précède.

Prenez votre temps pour lire un texte, de manière à pouvoir tout assimiler tranquillement. Mieux vaut passer deux fois plus de temps, mais vous approprier ces techniques correctement.

Il ne s'agit pas seulement de mathématiques, mais aussi d'argent... de votre argent !

Nous allons continuer à nous familiariser avec les factorielles, en répondant à la question « 1 chance contre 57 ou 1 chance sur 61 pour 3 numéros ? » qui concerne les loteries 6/49.

En effet, selon les sites web, les chances de gagner à 3 numéros sont, soit de 1 sur 57, soit de 1 sur 61. Parfois, le chiffre de 1 contre 18 424 est même avancé. Mais qui a raison ? Comment connaître la vérité ?

Pour le savoir, il faut calculer le nombre de combinaisons gagnantes. Cela en surprendra certainement beaucoup d'entre vous, qui penseront : « Il est donc possible de calculer le nombre de combinaisons gagnantes, avant que le moindre numéro n'ait été tiré ? ». Oui, c'est possible.

Je sens venir votre prochaine remarque : « Mais dans ce cas, les sociétés de loterie savent à l'avance ce qu'elles devront payer ? ». Oui, elles peuvent calculer une estimation tout à fait valable.

Calcul du nombre de combinaisons gagnantes contenant 3 bons numéros parmi 6.

Nous voulons connaître le nombre de combinaisons gagnantes à 3 numéros, dans une loterie où une combinaison contient 6 numéros à choisir parmi 49. Pour cela, il faut poser :
C³₆ x C^6-3_49-7 = 229 600

Explication

C³₆ donne le nombre de suites de 3 numéros que peut contenir une combinaison de 6 :
(6 x 5 x 4) / (3 x 2 x 1) = 20

C^6-3_49-7 donne le nombre total de suites de 3 numéros possibles (sans combinaisons en double) :
[ (42 x 41 x 40) ] / [ (3 x 2 x 1 ) ] = 11 480

Résultat

20 x 11 480 = 229 600 combinaisons gagnantes avec 3 bons numéros parmi 6.

Ce point étant acquis, nous pouvons maintenant répondre à la question posée au début. Pour cela, il ne reste plus qu'une dernière opération à poser, destinée à connaître la probabilité.

Le nombre total de combinaisons possibles étant C⁶₄₉ = 13 983 816, nous posons
13 983 816 / 229 600 et obtenons 60,9051.

Les chances de gagner à 3 numéros sont donc de 1 contre 61 à l'arrondi.

Alors, d'où vient l'erreur 1 contre 57 ?

Ils ont calculé C³₆ x C^6-3_49-6 = 246 820 et obtenu 13 983 816 / 246 820 = 56,6559 soit 1 chance contre 57 à l'arrondi.

C'est parce qu'ils n'ont pas tenu compte de la présence du numéro complémentaire, car ils ont posé
C^6-3_49-6 au lieu de C^6-3_49-7

Leur erreur provient de l'oubli du numéro complémentaire : 49-6 était à remplacer par 49-7 parce que le numéro complémentaire était le 7e numéro.

Du même coup, vous venez de voir comment faire pour calculer celui-ci. Dans les loteries 6/49 sans complémentaire, on utilise 49-6. S'il existe un complémentaire, 49-7.

Remarques

1. Pour ceux qui indiquent le chiffre de 1 contre 18 424, ils ont retenu le nombre de triplettes (suites de 3 numéros) possibles avec 49 numéros, ce qui est inexact et fera mentir, par la suite, tous les autres calculs qu'ils bâtiront là-dessus.
2. La meilleure preuve est l'actuel record du monde garantissant 3 numéros en 163 grilles, qui couvre les 13 983 816 combinaisons d'une 6/49 en seulement 3007 triplettes (et non pas 18 424).

Pour l'instant, nous avons calculé les extrêmes : les probabilités du jackpot et aussi du plus petit gain. Mais comment calculer tous les rangs intermédiaires ?

Pour cela, nous allons continuer avec les factorielles qui sont un peu - à vrai dire - le couteau suisse des jeux de tirage. Nous prendrons comme exemple une loterie 6/49 classique étant donné que, à l'heure où nous écrivons, ce sont les plus répandues au monde.

Les équations suivantes permettent de calculer des 5/49, des 5/50 et tout ce que vous voulez d'autre. Il suffit de transposer, dans les factorielles, la longueur de combinaison et le nombre de numéros de votre loterie.

Comment calculer les chances à 4 numéros

Il faut poser : C⁴₆ x C^6-4_49-7 = 12 915, puis 13 983 816 / 12 915 = 1082,7577
soit 1 chance contre 1083 à l'arrondi.

Comment calculer les chances à 4 numéros + Complémentaire

Il faut poser : C⁴₆ x C^(6-4)-1_49-7 = 630, puis 13 983 816 / 630 = 22 196,53337
soit 1 chance contre 22 197 à l'arrondi.

Notez le "-1" dans la factorielle (permet le calcul du complémentaire).

Comment calculer les chances à 5 numéros

Il faut poser : C⁵₆ x C^6-5_49-7 = 252, puis 13 983 816 / 252 = 55 491,333
soit 1 chance contre 55 491 à l'arrondi.

Et ainsi, nous obtenons un grand progrès. Sur cette base, nous pouvons établir le tableau des probabilités valable pour toute loterie 6/49 à complémentaire (et aussi l'Ancien Loto Français), comme ci-dessous.

Tableau des probabilités (Loterie 6 / 49 + C)
Numéros	Chances	Grilles gagnantes
6	1 sur 13 983 816	1 sur 13 983 816
5+C	1 sur 2 330 636	6 sur 13 983 816
5	1 sur 55 491	252 sur 13 983 816
4+C	1 sur 22 197	630 sur 13 983 816
4	1 sur 1 083	12 915 sur 13 983 816
3+C	1 sur 812	17 220 sur 13 983 816
3	1 sur 61	229 600 sur 13 983 816
Au total	1 sur 54	260 624 sur 13 983 816
Source : Cap Loto

Il est tout à fait possible de créer des tableaux équivalents pour Keno, EuroMillions, Rapido et tous autres Lotto. Pour cela, comme je l'ai écrit plus haut, il suffit de transposer les factorielles pour la longueur de combinaison et le nombre de numéros.

Attention : 1 chance sur 54 ne signifie pas qu'il suffit de jouer 54 fois pour être certain de gagner !

Par exemple, vous pouvez jouer 54 fois de suite, tout en n'ayant à aucune reprise une des 260 624 combinaisons gagnantes au prochain tirage (puisqu'il y a 13 983 816 combinaisons possibles).

Il s'agit du rapport entre le nombre de combinaisons totales et le nombre de combinaisons gagnantes pour le rang calculé.

Pour une loterie 6/49, il faut 163 grilles d'un système réducteur en couverture totale (soit 49 numéros) pour être certain d'obtenir une combinaison gagnante avec 3 numéros minimum.

Pour le Loto français (5/49 + 1 N°chance), il faut 34 grilles pour garantir une combinaison gagnante avec 2 numéros minimum. Pour EuroMillions (5/50 + 2 E), 36 grilles.

L'une des matrices les plus courtes est celle de la loterie Amigo française. 9 grilles suffisent pour une grille gagnante tous rangs confondus.

Il s'agit d'ensembles de combinaisons spécifiques obtenus par réduction combinatoire, que l'on nomme les systèmes réducteurs de mise.

Où trouver de tels systèmes ? Par exemple dans le logiciel Cap Loto™, en cliquant sur l'onglet Grilles en un éclair, dans la boite à options en dessous de « Choisissez la matrice » (voir ici).

L'équation de la loi hypergéométrique est jolie à regarder, certes.

Mais maintenant, vous vous demandez probablement comment l'utiliser. Voici la clé du rapprochement.

• P : chances (résultat de l'équation : X chances au rang de gain k)
• m : nombre de numéros gagnants à un tirage (6 dans une loterie 6/49)
• k : rang gagnant (3 pour connaître les chances à 3 n° gagnants, 4 pour les chances à 4 n° gagnants, etc)
• N : nombre de numéros de la loterie (49 dans une loterie 6/49)
• n : nombre de numéros que vous jouez (6 pour le tableau de probabilités d'une loterie 6/49)

Cette équation se traduit ensuite en factorielles.

Ci-dessous pour une loterie sans numéro complémentaire

P =	C km  C n-kN-m
	C nN

Notez que les deux factorielles de la partie haute permettent de calculer les combinaisons gagnantes :
C ^k_m  C ^n-k_N-m

La factorielle de la partie basse de l'équation permet de calculer la totalité des combinaisons possibles :
C ⁿ_N

Ensuite, diviser les combinaisons gagnantes par les combinaisons possibles permet de connaître les chances.

Ci-dessous pour une loterie avec numéro complémentaire

Quand le complémentaire ne gagne pas (rangs 3, 4, 5, etc) :

P =	C km  C n-kN-m-1
	C nN

Quand le complémentaire gagne (rangs 3+C, 4+C, 5+C, etc) :

P =	C km  C n-k-1N-m-1
	C nN

Ne confondez pas un numéro complémentaire avec un N°Chance ou des N°Etoiles, car :

• Le numéro complémentaire appartient à la série principale de numéros.
• Un N°Chance ou des N°Etoiles appartiennent à une deuxième série de numéros complètement indépendante de la première. Ils se calculent selon la même logique, mais séparément.

Pour calculer les probabilités de gain des grilles simples et multiples, il faut d'abord faire le tableau du nombre des grilles gagnantes (exemple pour une loterie 6 / 49 + 1 numéro complémentaire) :

Tableau des grilles gagnantes (6/49 + C)
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1	43	906	12 341	123 410
5+C	6	252	5 166	68 880	671 580
5	252	5 166	68 880	671 580	5 104 008
4+C	630	12 915	172 200	1 678 950	12 760 020
4	12 915	172 200	1 678 950	12 760 020	78 686 790
3+C	17 220	229 600	2 238 600	17 013 360	104 915 720
3	229 600	2 238 600	17 013 360	104 915 720	539 566 560
Total C. gagnantes :	260 624	2 658 776	21 178 059	137 120 851	741 828 088
Total C. possibles :	13 983 816	85 900 584	450 978 066	2 054 455 634	8 217 822 536
Source : Cap Loto

Voici quelques exemples des factorielles indispensables.

Combinaisons possibles en 6/49

Factorielle C⁶₄₉ qui donne :
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44) / (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 13 983 816 combinaisons.

Combinaisons possibles en 7/49

Factorielle C⁷₄₉
(49 x 48 x 47 x 46 x 45 x 44 x 43) / (7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 85 900 584 combinaisons.

4 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres

C⁴₆ x C^6-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C²₄₂.

On pose [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41) / (2 x 1)],
soit 15 x 861 = 12 915 combinaisons.

4 numéros avec des combinaisons de longueur 7 chiffres

C⁴₆ x C^7-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C³₄₂.

On pose [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41 x 40) / (3 x 2 x 1)],
soit 15 x 11 480 = 172 200 combinaisons.

4 numéros avec des combinaisons de longueur 8 chiffres

C⁴₆ x C^8-4_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C⁴₄₂.

On pose [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42 x 41 x 40 x 39) / (4 x 3 x 2 x 1)], soit 15 x 111 930 = 1 678 950 combinaisons.

4 numéros + complémentaire avec des combinaisons de longueur 6 chiffres

C⁴₆ x C^(6-4)-1_49-7 qui se réduit à C⁴₆ x C¹₄₂.

On pose [(6 x 5 x 4 x 3) / (4 x 3 x 2 x 1)] x [(42) / (1)], soit 15 x 42 = 630 combinaisons.

5 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres

C⁵₆ x C^6-5_49-7 qui se réduit à C⁵₆ x C¹₄₂.

On pose [(6 x 5 x 4 x 3 x 2) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1)] x [(42) / (1)], soit 6 x 42 = 252 combinaisons.

Important : ensuite, le nombre de grilles gagnantes est à diviser par le nombre total de combinaisons possibles de la même colonne.

Exemple pour 4 numéros avec des combinaisons de longueur 6 chiffres : 13 983 816 / 12 915 = 1082,75 (arrondi à 1083).

Exemple pour 4 numéros + Complémentaire avec des combinaisons de longueur 7 chiffres : 13 983 816 / 630 = 22196,5333 (arrondi à 22197).

Lorsque l'on fait cela pour toutes les cellules du tableau, on obtient alors le tableau des probabilités de gain suivant.

Tableau des probabilités de gain (6/49 + C)
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1 sur 13 983 816	1 sur 1 997 688	1 sur 499 422	1 sur 166 474	1 sur 66 590
5+C	1 sur 2 330 636	1 sur 340 875	1 sur 87 297	1 sur 29 827	1 sur 12 237
5	1 sur 55 491	1 sur 16 628	1 sur 6 547	1 sur 3 059	1 sur 1 610
4+C	1 sur 22 197	1 sur 6 651	1 sur 2619	1 sur 1 224	1 sur 644
4	1 sur 1 083	1 sur 499	1 sur 269	1 sur 161	1 sur 104
3+C	1 sur 812	1 sur 374	1 sur 201	1 sur 121	1 sur 78
3	1 sur 61	1 sur 38	1 sur 27	1 sur 20	1 sur 15
Au total :	1 sur 54	1 sur 32	1 sur 21	1 sur 15	1 sur 11
Source : Cap Loto

Si l'on regarde ce tableau, on s'aperçoit qu'une grille multiple donne plus de chances qu'une grille simple. C'est normal puisqu'une grille simple est un sous-ensemble d'une grille multiple. Mais cela ne signifie pas que les grilles multiples sont meilleures...

Pour faire cette comparaison, nous devons ramener la probabilité au dollar ou à l'euro misé. Supposons la grille de prix suivante.

Prix d'une grille
	à 6 n°	à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
Mise (€)	1	7	28	84	210

Ensuite, nous avons besoin du Tableau des probabilités de gain vu précédemment, multiplié par le prix de la grille correspondante ci-dessus. Cela donnera la probabilité au dollar ou à l'euro misé (arrondi) :

Tableau des chances au dollar ou à l'euro misé
Numéros	Grille Simple de 6 n°	Grilles Multiples
		à 7 n°	à 8 n°	à 9 n°	à 10 n°
6	1 / 13 983 816	1 / 13 983 816	1 / 13 983 816	1 / 13 983 816	1 / 13 983 816
5+C	1 / 2 330 636	1 / 2 386 127	1 / 2 444 326	1 / 2 505 434	1 / 2 569 676
5	1 / 55 491	1 / 116 396	1 / 183 324	1 / 256 968	1 / 338 115
4+C	1 / 22 197	1 / 46 559	1 / 73 330	1 / 102 787	1 / 135 246
4	1 / 1 083	1 / 3 492	1 / 7 521	1 / 13 525	1 / 21 932
3+C	1 / 812	1 / 2 619	1 / 5 641	1 / 10 143	1 / 16 449
3	1 / 61	1 / 269	1 / 742	1 / 1 645	1 / 3 198
Au total :	1 / 54	1 / 226	1 / 596	1 / 1 259	1 / 2 326
Source : Cap Loto

En regardant ce tableau, on s'aperçoit que :

• Le prix des grilles a été fixé de manière à donner, pour chaque dollar ou euro misé, la même chance d'obtenir le gain maximal.
• Pour le jackpot (6 numéros), grilles multiples et grilles simples arrivent à égalité (1 chance sur 13 983 816).
• Pour les autres rangs, les grilles multiples donnent moins de chances de gagner que les grilles simples.

En regardant la dernière ligne du tableau, vous verrez que l'écart est même assez important.

Le résultat de cette démonstration tient en peu de mots : mieux vaut jouer des grilles simples ! Ramené au dollar ou à l'euro misé, celles-ci donnent plus de chances que les grilles multiples.

Le fait n'est pas contestable. Pour voir la démonstration complète, incluant les tableaux de probabilités d'autres loteries, regardez Jouer des grilles multiples ou des grilles simples.

Comme vous l'aurez remarqué, effectuer tous ces calculs est difficile lorsque l'on manque de temps.

Egalement, il arrive que quelques étudiants, dont les professeurs posent des problèmes de probabilités sur les loteries, nous demandent des conseils.

Alors, afin de faire gagner du temps à tout le monde, nous avons créé un fichier Excel qui permet de calculer facilement les factorielles des nombres de combinaison :
Nombre de combinaisons.

Bien que ceci ne concerne, après tout, que des jeux de tirages, cela permet de faire de jolis calculs de probabilité, et d'être parfaitement informés de nos chances réelles.

On pourrait se demander, d'ailleurs, pour quelle raison les sociétés de loteries n'indiquent pas, au dos des bulletins, les probabilités de gain pour chacun de leurs jeux. La peur que l'on en sache trop, peut-être ? Car c'est après avoir effectué ce type de calculs que, en général, l'on utilise Les systèmes réducteurs de mise, afin d'améliorer sa manière de jouer.

En effet, le tableau des probabilités de gain à l'euro misé montre que les grilles simples sont plus avantageuses que les grilles multiples. Pour cette raison, beaucoup de joueurs préfèrent jouer plusieurs grilles simples avec un système réducteur de mise.

Ce principe est également valable pour le Keno, EuroMillions et tout type de Lotto. Afin de ne pas jouer n'importe quoi, il est préférable de disposer d'un logiciel spécialisé tel que celui que nous proposons sur ce site.