CAP LOTO

Base de Connaissances...

Etudes sur les jeux de tirage L’optimisation des combinaisons Gagner au Loto ? Ce qu’il faut savoir... Probabilités : calculer vos chances Une stratégie est-elle possible ? Les systèmes réducteurs de mise, ou comment créer les combinaisons Les méthodes pour pronostiquer Numéro complémentaire : le fusionner ou pas ? Jouer des grilles multiples ou des grilles simples Comparatif des Lottos
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Système Total : c'est la totalité des combinaisons possibles avec un certain nombre de numéros.
Exemple : au Loto français, il existe 13 983 816 combinaisons différentes avec les 49 numéros. Si l'on utilise 25 numéros seulement, 177 100 combinaisons sont possibles.
Le système total est donc la totalité des combinaisons qu'on peut faire avec un nombre de numéros donné.
Système Réducteur de mise : c'est une partie des combinaisons ci-dessus. Etant donné qu'il s'agit d'un sous-ensemble du Système Total, cela fait moins de combinaisons à jouer, ce qui réduit donc la mise.

Abréviations :

ST pour Système Total,
SR pour Système Réducteur.

Synonymes de Système Total :

Full Wheel (traduction : roue complète),
Construction Totale.

Synonymes de Système Réducteur :

Abbreviated Wheel (traduction : roue abrégée, partielle),
Construction Partielle.

Un combinatoire désigne les Systèmes en général, qu'ils soient totaux ou réduits. Le mot "Combinatoire" vient du verbe "Combiner". Au Loto, "Combiner" veut dire faire des combinaisons avec les numéros, tout simplement...

A quoi sert un système réducteur de mise ?

S'il existait un permis obligatoire pour jouer au Loto, les systèmes réducteurs seraient la première chose qu'on enseignerait.

Voici pourquoi.

Supposons que vous ayez joué 18 numéros en 3 combinaisons, comme ceci :

C 01 :	02 14 15 23 30 32
C 02 :	01 16 24 33 34 40
C 03 :	03 12 22 31 33 41

Le soir du tirage, les numéros gagnants sont : 02 14 16 24 31 33. Vous avez trouvé les 6 numéros gagnants, donc !
Malheureusement pour vous, vous ne gagnerez rien... Pour toucher quelque chose, il aurait fallu, au moins, 3 numéros ensemble dans la même combinaison.
Or ici, malheureusement, on ne trouve que 2 numéros par combinaison. Dommage...

Sur quel principe repose un système réducteur de mise ?
Voici un autre exemple. Il est possible de trouver les 6 numéros gagnants, quels que soient les numéros sortis, en 9 combinaisons. Cela n'a rien d'extraordinaire :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 02 :	07 08 09 10 11 12
C 03 :	13 14 15 16 17 18
C 04 :	19 20 21 22 23 24
C 05 :	25 26 27 28 29 30
C 06 :	31 32 33 34 35 36
C 07 :	37 38 39 40 41 42
C 08 :	43 44 45 46 47 48
C 09 :	01 02 03 04 05 49

Vous aurez les 6 numéros gagnants à tous les coups, puisque vous aurez joué la totalité des numéros possibles. Oui mais...
...mais dans ce cas, vous n'aurez au minimum, qu'un seul numéro gagnant par combinaison.

En extrapolant ce principe, il est possible de créer des ensembles contenant plus de combinaisons, et où il y aura toujours 2 numéros en commun, ou 3, ou 4, ou 5.

Autre exemple : supposons que vous vouliez jouer 8 numéros.
Pour jouer la totalité des combinaisons possibles avec 8 numéros, 28 combinaisons sont nécessaires (un système total, donc) :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 02 :	01 02 03 04 05 07
C 03 :	01 02 03 04 05 08
C 04 :	01 02 03 04 06 07
C 05 :	01 02 03 04 06 08
C 06 :	01 02 03 04 07 08
C 07 :	01 02 03 05 06 07
C 08 :	01 02 03 05 06 08
C 09 :	01 02 03 05 07 08
C 10 :	01 02 03 06 07 08
C 11 :	01 02 04 05 06 07
C 12 :	01 02 04 05 06 08
C 13 :	01 02 04 05 07 08
C 14 :	01 02 04 06 07 08
C 15 :	01 02 05 06 07 08
C 16 :	01 03 04 05 06 07
C 17 :	01 03 04 05 06 08
C 18 :	01 03 04 05 07 08
C 19 :	01 03 04 06 07 08
C 20 :	01 03 05 06 07 08
C 21 :	01 04 05 06 07 08
C 22 :	02 03 04 05 06 07
C 23 :	02 03 04 05 06 08
C 24 :	02 03 04 05 07 08
C 25 :	02 03 04 06 07 08
C 26 :	02 03 05 06 07 08
C 27 :	02 04 05 06 07 08
C 28 :	03 04 05 06 07 08

(Nota : les 01 02 03 (etc) sont faits pour être remplacés par les 8 numéros que vous voulez jouer.)

Si les 6 numéros gagnants sont parmi vos 8 joués, alors vous serez certain de gagner le gros lot, puisque vous aurez joué la totalité des combinaisons possibles avec 8 numéros.
Au Loto français en 2005, cela représente une mise de 0,60 euros x 28, soit 16,80 euros.

Est-il raisonnable de dépenser cette somme ? Car il n'est pas certain que vos 8 numéros joués, contiennent les 6 numéros gagnants...
Mais si les 6 numéros gagnants s'y trouvent, alors il faut plus de 2 numéros dans une combinaison. Sinon, vous ne toucherez rien.

C'est ici que les systèmes réducteurs entrent en scène.
Ils permettent de créer les combinaisons à jouer, tout en ayant un nombre de numéros garantis dans une combinaison.

Pour parvenir à ce résultat, le système réducteur sera un sous-ensemble du système total des combinaisons.
Ici, le système total contient 28 combinaisons.
Par conséquent, le système réducteur de mise sera un sous-ensemble obtenu à partir des 28 combinaisons ci-dessus.

Jouer 8 numéros avec un système réducteur de mise peut donner, par exemple, ceci :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 06 :	01 02 03 04 07 08
C 15 :	01 02 05 06 07 08
C 28 :	03 04 05 06 07 08

Le système total de 28 grilles a été réduit à 4 combinaisons.

L'économie réalisée est importante :

Jouer 28 combinaisons	16,80 euros
Jouer 4 combinaisons	2,40 euros
ECONOMIE =	14,40 Euros

Avons-nous des garanties de gagner quelque chose par ce moyen ?
Oui !
La garantie de ce système est de 5 numéros si 6 numéros sont gagnants parmi les 8 joués.
En d'autres termes, si nous avons 6 numéros gagnants parmi les 8 numéros joués, alors nous aurons au minimum 5 numéros ensemble, dans une des combinaisons du système réducteur.

Pour être certain de ce résultat, le système réducteur a été testé contre chacune des combinaisons du système total, de manière systématique, à l'aide de l'outil informatique.

Conclusion :

nous avons fait des économies : 14,40 euros,

la garantie de ce système réducteur étant de 5 numéros si 6 gagnants parmi 8 joués, 6 numéros devront être gagnants parmi les 8 joués et alors, il en restera 5 ensemble.

ce résultat est obtenu avec une mise de 2,40 euros.

Voilà ce que permettent les systèmes réducteurs de mise.

Quelles sont les limites ?
Par ce moyen, on peut également jouer plus de 8 numéros. C'est justement tout l'intérêt.
En effet, plus l'on joue de numéros, plus l'on augmente ses chances.
Par exemple, rien n'interdit de jouer 25 numéros dans un système réducteur, en ayant une garantie connue.
Si l'on joue 25 numéros au lieu de 8, les chances sont augmentées de manière assez importante.
Attention : augmenter les chances ne veut pas dire garantir le gros lot.

Pourrait-on jouer les 49 numéros ainsi, de manière à avoir une certitude d'un gain ?
Oui. Dans ce cas, on gagnera à tous les coups quels que soient les numéros sortis (puisque l'on aura joué tous les numéros).

Pour obtenir ce résultat, il faut :

au Loto français, 163 combinaisons en garantie 3 si 6 (et à tout Loto de type 6/49),

au Swiss Lotto, 133 combinaisons en garantie 3 si 6 (et à tout Loto de type 6/45),

au Loto belge, 110 combinaisons en garantie 3 si 6 (et à tout Loto de type 6/42),

à l'EuroMillions, 144 combinaisons en garantie 2 + 1 Etoile.
Ce n'est pas obligatoirement rentable puisque la mise sera supérieure au gain garanti.
Ces systèmes ne sont rentables que si l'on sait les jouer aux bons moments.
Mais le but du jeu, n'est pas de jouer les 49 numéros d'un Loto (sinon, il n'y aurait plus de sport !).

Le jeu, c'est de savoir pronostiquer une vingtaine de numéros (ou moins), contenant ceux qui gagneront.
Puis, d'utiliser les systèmes réducteurs de mise, de manière à bénéficier de leurs avantages :

jouer le maximum de numéros possibles pour un budget connu,

croiser les numéros de telle manière, que les combinaisons jouées donnent alors une garantie de 3, 4 ou 5 numéros ensemble dans une combinaison, si 3, 4, 5 ou 6 numéros sont gagnants parmi tous ceux joués (on peut même jouer tous les numéros moins un si l'on veut).

Jouer au hasard ne nous donnerait pas ces avantages...

La garantie d'un système réducteur

Avec 8 numéros, il n'existe que 28 combinaisons possibles, pas une de plus (celles du système total ci-dessus).
Donc, le soir du tirage, si les 6 numéros gagnants sont parmi nos 8 numéros joués, alors la combinaison gagnante est forcément parmi une des 28.

Comme nous n'avons joué que 4 combinaisons parmi les 28 possibles, nous avons besoin de connaître la garantie de ce système réducteur (sinon, nous n'aurions aucune certitude !).

Pour contrôler la garantie, le moyen suivant est utilisé :

on prend chacune des 28 combinaisons possibles, et on les teste une à une contre les 4 combinaisons du système réducteur,

puis on regarde ce que le système réducteur aurait trouvé à chaque fois,
Ainsi, quelle que soit la combinaison sortie, on sait à l'avance ce que peut retenir le système réducteur.

Un logiciel qui teste une garantie procède ainsi :
- il prend le système réducteur :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 06 :	01 02 03 04 07 08
C 15 :	01 02 05 06 07 08
C 28 :	03 04 05 06 07 08

- et le teste contre la combinaison 1 du système total :

C 01 :

01 02 03 04 05 06

Au test de la combinaison 1, une des combinaisons contient les 6 numéros ensemble. Si la combinaison 1 sort le soir du tirage, alors le système réducteur gagne le gros lot. Evidemment, on se doute bien qu'il ne bloquera pas toujours les 6 numéros, puisque nous n'avons pris que 4 combinaisons parmi les 28 possibles.
- Ensuite, on teste avec la combinaison 2 du système total :

C 02 :

01 02 03 04 05 07

et ainsi de suite jusqu'à avoir testé la totalité des 28 combinaisons possibles.
On constate, ainsi, le minimum sous lequel le système réducteur ne peut pas descendre.

Ici, nous obtenons :

Trouvé à 6	4 fois
Trouvé à 5+C	12 fois
Trouvé à 5	12 fois
Total trouvé :	28 fois

Le minimum trouvé est de 5 numéros gagnants ensemble dans une combinaison.

De plus, nous savons que :

nous avons 4 chances de gagner à 6 numéros,

12 chances de gagner à 5 numéros + complémentaire,

et dans tous les cas, on obtient donc 5 numéros au minimum.

Comment se servir d'un système réducteur ?

Il s'agit de créer, à partir du système réducteur, un jeu de combinaisons qui seront les combinaisons à jouer.

Or, le système réducteur vu plus haut se présente ainsi :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 06 :	01 02 03 04 07 08
C 15 :	01 02 05 06 07 08
C 28 :	03 04 05 06 07 08

Il est évident que nous n'allons pas le jouer tel que, parce que ce système est natif, ou si vous préférez, vierge, jamais encore utilisé. En effet, aucun des numéros que nous voulons jouer n'y a été combiné.

Les 01 02 03 04 qu'il contient, marquent en fait des emplacements :
le 01 est à remplacer par votre 1er numéro à jouer,
le 02 est à remplacer pour votre 2e numéro à jouer,
le 03 est à remplacer par votre 3e numéro à jouer,
et ainsi de suite...

Etant donné qu'il s'agit d'un travail assez répétitif, où des erreurs sont à craindre, c'est l'outil logiciel qui est utilisé pour cette opération.

Cette opération s'appelle "créer les combinaisons" ou encore "combiner les numéros". Dans tous les cas, il s'agit de remplacer les 01 02 03 par vos numéros à jouer.

De cette manière, les numéros que vous pronostiquez, sont combinés à un système réducteur dont la garantie est connue.

L'utilisation d'un logiciel, tel que Cap Loto, facilite énormément ce genre de calculs.

Définition des garanties

Une garantie d'un système réducteur est définie ainsi :
- x numéros garantis si y gagnants parmi z joués.

Par exemple, une garantie de :
- 3 si 6 parmi 16,
veut dire :
- 3 numéros garantis si 6 numéros sont gagnants parmi 16.
Dans ce cas, vous jouez 16 numéros. Si 6 numéros sont gagnants parmi les 16 joués, alors vous aurez 3 numéros ensemble dans une des combinaisons du système réducteur.

Plus l'on joue de numéros (par exemple 25 au lieu de 16), et plus les chances qu'ils contiennent les gagnants augmentent.

Bref, le système réducteur agit comme un filet de pêche dont les mailles seraient réglables, de manière à arrêter les poissons de la taille qu'on veut...

Si l'on veut jouer 20 numéros en garantie 3, alors cela s'écrit :
3 si 6 parmi 20.
Et si l'on veut en jouer 25 :
3 si 6 parmi 25.
Evidemment, si l'on joue :
3 si 6 parmi 49,
alors on est certain d'avoir 3 numéros ensemble, quels que soient les numéros sortis, puisque l'on a joué les 49 numéros possibles !

L'élevation des garanties

Jusqu'à maintenant, nous avons étudié les garanties de 3 numéros.
Il est possible d'aller plus loin.

On peut élever les garanties de 3 manières :

soit on augmente le 1er argument (nombre de numéros garantis),

soit on diminue le 2e argument (le "Si"...),

soit on augmente le 3e argument (le "Parmi"...).

Quelques exemples...

4 si 6 parmi 16 : (1er argument : nombre de numéros garantis)
4 numéros garantis si 6 gagnants parmi 16.

4 si 5 parmi 16 : (2e argument : le "Si"...)
4 numéros garantis si 5 gagnants parmi 16.

4 si 6 parmi 25 : (3e argument : le "Parmi"...)
4 numéros garantis si 6 gagnants parmi 25.

Il est avantageux d'élever les garanties (puisque les chances de gain deviennent plus grandes).
Par contre, le nombre de combinaisons à jouer augmente, même s'il reste nettement inférieur à celui d'un système total.

Les garanties incluses

Un système réducteur de garantie élevée, englobe les garanties des systèmes réducteurs placés en dessous. Cela augmente le rapport obtenu, permettant aussi de gagner à tous les rangs contenus dans la garantie la plus forte.

Cela est résumé dans le tableau ci-dessous :

Tableau des garanties incluses
6 si 6	5 si 5	4 si 4	3 si 3
6 si 7	5 si 6	4 si 5	3 si 4
	5 si 7	4 si 6	3 si 5
		4 si 7	3 si 6
			3 si 7
Source : Cap Loto

Les garanties des colonnes de gauche englobent celles de droite.
Les garanties du dessus englobent les garanties du dessous.

Exemple : la garantie de 4 si 4 englobe :

4 si 5 ;
4 si 6 ;
4 si 7 ;
3 si 3 ;
3 si 4 ;
3 si 5 ;
3 si 6 ;
3 si 7.

Cela signifie que, s'il n'y a que 4 numéros gagnants parmi ceux joués, une 4 si 4 permettra de gagner avec 4 numéros, et aussi à 3, ce qui augmente le gain.

Les numéros de base

Les numéros de base permettent de réduire encore plus la taille des systèmes réducteurs.

Un système réducteur à 1 numéro de base, contient 01 dans chacune de ces combinaisons, comme ceci par exemple :
C 0001 : 01 02 03 04 05 06
C 0792 : 01 02 07 08 09 10
C 0987 : 01 02 11 12 13 14
C 1580 : 01 03 07 11 15 16
Ici, il s'agit d'un SR 3 si 6 parmi 16 à 1 numéro de base.

Sans numéro de base, ce SR aurait contenu ceci :
C 0001 : 01 02 03 04 05 06
C 0792 : 01 02 07 08 09 10
C 0987 : 01 02 11 12 13 14
C 1580 : 01 03 07 11 15 16
C 4139 : 02 04 08 12 15 16
C 5313 : 03 04 07 08 13 14
C 5431 : 03 04 09 10 11 12
C 7098 : 05 06 07 08 11 12
C 7234 : 05 06 09 10 13 14
9 grilles en tout, soit 5 de plus que dans l'exemple précédent...

Il est impératif que votre numéro de base, se trouve parmi les numéros gagnants le jour du tirage.
C'est la seule contrepartie à cette réduction supplémentaire de combinaisons.

Il est possible de créer des SR à 2 numéros de base, afin de réduire encore un peu plus.
Dans ce cas, toutes les combinaisons du SR contiendront 01 et 02, comme ceci :
C 001 : 01 02 03 04 05 06
C 792 : 01 02 07 08 09 10
C 987 : 01 02 11 12 13 14

L'inconvénient de cette méthode est que, si votre numéro de base ne sort pas le jour du tirage, la garantie ne pourra pas être respectée.
Il ne restera alors que la couverture résiduelle du système.

Pour cette raison, il faut déconseiller d'utiliser plus de 2 numéros de base.

L'art et la manière de combiner un système réducteur

Et voici l'écran qui permet de régler l'ordre d'affectation :

Si vous cliquez les numéros dans un ordre différent, alors vous pouvez modifier l'ordre d'affectation des numéros.
Egalement, si vous voulez faire passer un numéro quelconque en numéro de base, il suffit de cliquer une seconde fois sur celui-ci, et il sera sélectionné en temps que numéro de base (avec la couleur vert clair pour le repérer facilement) :

et ainsi, le numéro de base passera en haut de liste pour remplacer tous les 01 du SR :
(On voit ici que les autres numéros ont été cliqués dans un ordre différent, afin de modifier leur ordre d'affectation)

De cette manière, il est possible de donner l'ordre d'affectation des numéros que l'on souhaite, quel que soit l'ordre souhaité.

Méthodes de construction des systèmes réducteurs

Trois méthodes principales existent pour créer des systèmes réducteurs :

l'élimination de certaines combinaisons dans le système total,

le test systématique de tous les sous-ensembles possibles de combinaisons à l'intérieur du système total,

l'ajout des combinaisons les plus couvrantes, en partant de la combinaison N°x du système total.

Les systèmes réducteurs étant un enjeu quasiment stratégique en matière de Loto, il existe d'autres techniques plus confidentielles.
Sachez toutefois que personne, jusqu'à maintenant, n'a prétendu posséder une solution permettant de calculer directement le système réducteur le plus court.

Les systèmes réducteurs les plus courts que nous possédons, ont été obtenus soit par exploration systématique des sous-ensembles, soit par ajout à partir de la combinaison x, avec des optimisations intermédiaires (et donc, de manière indirecte).

Existe t-il une méthode de réduction idéale ?
Non, pour la bonne et simple raison que les SR les plus courts, ne sont pas ceux qui disposent du maximum de blocs.
Un bloc est, par exemple, une triplette de numéros (01-02-03) dans un SR à garantie de 3 ; une quadruplette (01-02-03-04) pour une garantie de 4 ; une quintuplette (01-02-03-04-05) pour une garantie de 5...

Plus un SR contient de blocs, plus il donne de chances de couvrir au dessus de sa garantie, ce qui augmente un peu plus les chances de gain.
Cela signifie que les SR un peu trop longs peuvent donner plus de chances que des SR plus courts, à garantie pourtant égale.

Exemple :

d'un coté, prenons un SR 3 si 6 parmi 20, en 10 grilles,

de l'autre, prenons un SR 3 si 6 parmi 20, mais en 30 grilles.
Comparons-les.

A priori, le SR à 30 grilles ne nous intéresse pas, parce qu'il est plus coûteux à jouer, tout en ne présentant pas de garantie supplémentaire.
Toutefois, cette analyse est peut-être hâtive...

Si nous comptons les triplettes présentes dans ces 2 SR, nous trouvons :

SR à 10 grilles : 164 triplettes.

SR à 30 grilles : 600 triplettes.
Bref, le SR à 10 grilles est le plus court, d'accord.
Mais, en matière de triplettes, il est carrément anémié...!

Par contre, le SR à 30 grilles semble dopé aux hormones : il contient 3,65 fois plus de triplettes (600 au lieu de 164).
Ce qui représente 0,65 fois plus de triplettes que si l'on partait du SR à 10 grilles, auquel 20 combinaisons auraient été ajoutées : dans ce cas, on arriverait à seulement 492 (164 x 3), alors que le SR à 30 grilles en couvre 600.
Cette optimisation a été rendue possible par une méthode de construction différente.

D'autre part, si nous observons la couverture détaillée des 2 SR :

SR à 10 grilles :
Gagné à 6 : 10 fois, soit 0,03 %
Gagné à 5 : 804 fois, soit 2,07 %
Gagné à 4 : 10778 fois, soit 27,81 %
Gagné à 3 : 27168 fois, soit 70,09 %
Total de couverture à 3 minimum : 100 %

SR à 30 grilles :
Répartition du % de couverture :
Gagné à 6 : 30 fois, soit 0,08 %
Gagné à 5 : 2520 fois, soit 6,50 %
Gagné à 4 : 28782 fois, soit 74,26 %
Gagné à 3 : 7428 fois, soit 19,16 %
Total de couverture à 3 minimum : 100 %

...alors, on s'aperçoit que les chances d'avoir des numéros gagnants au dessus de la garantie, sont nettement supérieures avec le SR de 30 combinaisons.
Par exemple, pour 4 numéros, le SR 10 grilles ne nous donne même pas 1 chance sur 3, alors que le SR 30 grilles nous donne, lui, presque 3 chances sur 4...

Par conséquent, jouer le plus court n'est pas obligatoirement l'idéal...

Il s'agit surtout de jouer le système réducteur le mieux adapté aux objectifs et à son budget.

Dans le cas de Cap Loto, nous avons opté pour une solution ouverte :

étant donné que les SR courts sont un peu "anémiques", nous avons programmé Cap Loto pour que celui-ci construise des SR plus longs et "dopés" en triplettes.

cela n'empêche pas de jouer des SR courts venant d'autres logiciels, tels que CoverMaster, Ininuga ou Trigrill : Cap Loto contient un utilitaire de conversion de systèmes réducteurs, appelé ULS Converter Technician, permettant de les utiliser.

on peut également convertir tout SR intermédiaire, pour l'utiliser dans Cap Loto.

Nota : il est possible qu'un ST à 15 numéros puisse être couvert par un SR à 14 numéros en ayant malgré tout une garantie de 3.
C'est ce que l'on pourrait appeler un phénomène mathématique inattendu.
En effet, l'absence du 15e numéro n'empêche pas que la garantie de 3 soit tenue avec 14 numéros seulement.

Créer un système réducteur

Pour créer un système réducteur, vous devez indiquer :

la longueur des combinaisons de votre Loto (hors complémentaire),

le nombre de numéros à jouer,

si vous voulez un numéro de base ou pas, et leur nombre souhaité.

puis cliquer sur "Créer le système total".

Le logiciel créée alors le système total contenant la totalité des combinaisons possibles.

Si un numéro de base est demandé, le nombre de combinaisons du système total sera différent, puisque les combinaisons sans numéro de base ne sont alors pas utiles.

Ensuite, indiquez la garantie voulue, puis cliquez sur "Réduire le système". Vous obtiendrez l'ensemble de combinaisons contenant le maximum de triplettes pour la garantie demandée. Le système réducteur est alors créé.

La réduction est stoppée dès que la garantie est couverte à 100 %, afin de jouer uniquement les combinaisons indispensables au respect de la garantie.

Enfin, cap Loto permet de contrôler la garantie des systèmes réducteurs.
Lorsqu'un système est chargé dans le mémo en bas du module, il suffit de cliquer sur "Garantir le système", et le logiciel calculera la garantie, ainsi que la couverture au dessus de la garantie.