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Jouer des grilles multiples ou des grilles simples ?

Trait...

Dans la plupart des jeux de Lotto et leurs dérivés (Euro Millions, etc), un joueur a la possibilité de jouer des grilles simples ou des grilles multiples. Mais lesquelles est-il préférable de jouer ?

Après bien des calculs, nous avons pu démontrer que les grilles simples donnent plus de chances, à l'euro misé, que les grilles multiples.

Afin de le démontrer, nous avons établi plusieurs tableaux de probabilité pour les principales loteries : 6/49 ; 6/45 ; Loto français ; Euro Millions.

Voici les éléments que nous vous invitons à découvrir :

Comparaison des chances entre 1 grille multiple et 1 grille simple
Comparaison entre 1 grille multiple et plusieurs grilles simples
Comparaison des mises
Une simple question de choix, vraiment ?
Comparaison au prix misé
Objections
La manière la plus coûteuse de jouer
Une méthode pour économiser plus de 230 euros
Conclusion
Annexes : méthodes de calcul

Cet article étant extrêmement détaillé , prenez votre temps pour le lire...

Remarque : les joueurs des autres loteries pourront utiliser ces principes pour calculer les chiffres qui s'appliquent à leurs cas. La manière d'effectuer les calculs est expliquée en annexe.

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Comparaison des chances entre 1 grille multiple et 1 grille simple

Trait...

Les tableaux ci-dessous comparent les chances entre une grille simple et une grille multiple (à l'arrondi) à chaque rang de gain.

Tableau des probabilités de gain (loteries 6/49)
Numéros Grille Simple de 6 n° Grilles Multiples
à 7 n° à 8 n° à 9 n° à 10 n°
6 1 sur 13 983 816 1 sur 1 997 688 1 sur 499 422 1 sur 166 474 1 sur 66 590
5+C 1 sur 2 330 636 1 sur 340 875 1 sur 87 297 1 sur 29 827 1 sur 12 237
5 1 sur 55 491 1 sur 16 628 1 sur 6 547 1 sur 3 059 1 sur 1 610
4+C 1 sur 22 197 1 sur 6 651 1 sur 2619 1 sur 1 224 1 sur 644
4 1 sur 1 083 1 sur 499 1 sur 269 1 sur 161 1 sur 104
3+C 1 sur 812 1 sur 374 1 sur 201 1 sur 121 1 sur 78
3 1 sur 61 1 sur 38 1 sur 27 1 sur 20 1 sur 15
Total : 1 sur 54 1 sur 32 1 sur 21 1 sur 15 1 sur 11
Source : Cap Loto

Dans une loterie 6/49, si l'on joue une grille multiple de 10 numéros, la probabilité de gain est de 1 chance contre 11. Avec une grille simple de 6 numéros, cette probabilité tombe à 1 chance contre 54.

Tableau des probabilités de gain (loteries 6/45)
Numéros Grille Simple de 6 n° Grilles Multiples
à 7 n° à 8 n° à 9 n° à 10 n°
6 1 sur 8 145 060 1 sur 1 163 580 1 sur 290 895 1 sur 96 965 1 sur 38 786
5+C 1 sur 1 357 510 1 sur 199 033 1 sur 51 103 1 sur 17 508 1 sur 7 203
5 1 sur 35 724 1 sur 10 759 1 sur 4 259 1 sur 2 001 1 sur 1 059
4+C 1 sur 14 290 1 sur 4 303 1 sur 1 703 1 sur 800 1 sur 424
4 1 sur 772 1 sur 359 1 sur 195 1 sur 118 1 sur 77
3+C 1 sur 579 1 sur 269 1 sur 146 1 sur 88 1 sur 58
3 1 sur 48 1 sur 31 1 sur 21 1 sur 16 1 sur 13
Total : 1 sur 42 1 sur 25 1 sur 17 1 sur 12 1 sur 9
Source : Cap Loto

Dans une loterie 6/45, si l'on joue une grille multiple de 10 numéros, la probabilité de gain est de 1 chance contre 9. Avec une grille simple de 6 numéros, cette probabilité tombe à 1 chance contre 42.

Tableau des probabilités de gain (Loto français)
Numéros Grille Simple de 5 n° Grilles Multiples
à 6 n° à 7 n° à 8 n° à 9 n°
5+1N 1 sur 19 068 840 1 sur 3 178 140 1 sur 908 040 1 sur 340 515 1 sur 151 340
5 1 sur 2 118 760 1 sur 353 127 1 sur 100 893 1 sur 37 835 1 sur 16 816
4+1N 1 sur 86 677 1 sur 29 564 1 sur 12 972 1 sur 6 644 1 sur 3 784
4 1 sur 9 631 1 sur 3 285 1 sur 1 441 1 sur 738 1 sur 420
3+1N 1 sur 2 016 1 sur 1 056 1 sur 633 1 sur 415 1 sur 291
3 1 sur 224 1 sur 117 1 sur 70 1 sur 46 1 sur 32
2+1N 1 sur 144 1 sur 103 1 sur 79 1 sur 64 1 sur 54
2 1 sur 16 1 sur 11 1 sur 9 1 sur 7 1 sur 6
1+1N 1 sur 28 1 sur 26 1 sur 24 1 sur 24 1 sur 23
0+1N 1 sur 18 1 sur 20 1 sur 22 1 sur 25 1 sur 29
Total : 1 sur 6 1 sur 5 1 sur 4 1 sur 4 1 sur 3
Source : Cap Loto

Au Loto français, si l'on joue une grille multiple de 9 numéros, la probabilité de gain est de 1 chance contre 3. Avec une grille simple de 5 numéros, cette probabilité tombe à 1 chance contre 6.

Tableau des probabilités de gain (Euro Millions à 12 étoiles)
Numéros Grille Simple de 5 n° Grilles Multiples
à 6 n° à 7 n° à 8 n° à 9 n° à 10 n°
5+2E 1 sur 139 838 160 1 sur 23 306 360 1 sur 6 658 960 1 sur 2 497 110 1 sur 1 109 827 1 sur 554 913
5+1E 1 sur 6 215 029 1 sur 1 035 838 1 sur 295 954 1 sur 110 983 1 sur 49 326 1 sur 24 663
5 1 sur 3 107 515 1 sur 517 919 1 sur 147 977 1 sur 55 491 1 sur 24 663 1 sur 12 331
4+2E 1 sur 621 503 1 sur 211 876 1 sur 92 916 1 sur 47 564 1 sur 27 069 1 sur 16 647
4+1E 1 sur 27 622 1 sur 9 417 1 sur 4 130 1 sur 2 114 1 sur 1 203 1 sur 740
4 1 sur 13 811 1 sur 4 708 1 sur 2 065 1 sur 1 057 1 sur 602 1 sur 370
3+2E 1 sur 14 125 1 sur 7 391 1 sur 4 425 1 sur 2 900 1 sur 2 030 1 sur 1 494
3+1E 1 sur 628 1 sur 328 1 sur 197 1 sur 129 1 sur 90 1 sur 66
3 1 sur 314 1 sur 164 1 sur 98 1 sur 64 1 sur 45 1 sur 33
2+2E 1 sur 985 1 sur 704 1 sur 540 1 sur 435 1 sur 364 1 sur 315
2+1E 1 sur 44 1 sur 31 1 sur 24 1 sur 19 1 sur 16 1 sur 14
2 1 sur 22 1 sur 16 1 sur 12 1 sur 10 1 sur 8 1 sur 7
1+2E 1 sur 188 1 sur 172 1 sur 162 1 sur 156 1 sur 153 1 sur 153
Total : 1 sur 13 1 sur 9 1 sur 7 1 sur 5 1 sur 4 1 sur 4
Source : Cap Loto

A Euro Millions, si l'on joue une grille multiple de 10 numéros, la probabilité de gain est de 1 chance contre 4. Avec une grille simple de 5 numéros, cette probabilité tombe à 1 chance contre 13.

Donc, à la question "une grille multiple donne t-elle plus de chances qu'une grille simple", l'on est obligé de répondre "oui". A cause de cette réponse, beaucoup de joueurs utilisent des grilles multiples. Mais ont-ils vraiment raison pour autant ?

Parce qu'en réalité, la question a été mal posée... Voici pourquoi.

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Comparaison entre 1 grille multiple et plusieurs grilles simples

Trait...

Tout d'abord, qu'est-ce qu'une grille multiple ? C'est un ensemble de grilles simples. Nous allons le démontrer.

Equivalence Grilles Simples et Multiples
Loteries 6/49, 6/45, 6/42
N° à jouer Grilles multiples Grilles simples
7 1 7
8 1 28
9 1 84
10 1 210
Source : Cap Loto

Dans une loterie 6/49, 6/45 ou 6/42, jouer une grille multiple de 10 numéros équivaut à jouer 210 grilles simples. En effet, avec 10 numéros, il n'existe que 210 combinaisons contenant 6 numéros, possibles sans doublon.

Equivalence Grilles Simples et Multiples
Loto français
N° à jouer Grilles multiples Grilles simples
6 1 6
7 1 21
8 1 56
9 1 126
Source : Cap Loto

Au Loto français, le tableau ci-dessus suppose qu'un seul N°Chance ait été joué par combinaison (le minimum possible, donc). Jouer une grille multiple de 9 numéros équivaut à jouer 126 grilles simples.

Equivalence Grilles Simples et Multiples
Euro Millions
N° à jouer Grilles multiples Grilles simples
6 1 6
7 1 21
8 1 56
9 1 126
10 1 252
Source : Cap Loto

Avec Euro Millions, le tableau ci-dessus suppose que 2 étoiles aient été jouées par combinaison (le minimum possible). Jouer une grille multiple de 10 numéros équivaut à jouer 252 grilles simples.

Dans chacun des cas ci-dessus sans exception, une grille multiple équivaut à plusieurs grilles simples.

Partant de cette constatation, comparer une seule grille simple contre une seule grille multiple est une absurdité puisque, en réalité,
une grille multiple = un ensemble de grilles simples.

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Comparaison des mises

Trait...

L'équivalence entre bulletins simples et multiples se retrouve t-elle dans le prix payé par les joueurs ?

Bien évidemment. Comment la société de loterie a t-elle calculé le prix ? En faisant correspondre le prix du multiple à son équivalent en grilles simples, comme le montre le tableau ci-dessous.

Comparaison des mises (Loto français)
Numéros Grilles multiples Grilles simples
Grilles Prix (EUR) Grilles Prix unitaire (EUR) Prix Total (EUR)
6 1 12 6 2 12
7 1 42 21 2 42
8 1 112 56 2 112
9 1 252 126 2 252
Source : Cap Loto

Nous rappelons que le prix d'une grille simple au Loto Français est de 2 euros.

Ainsi, pour jouer 9 numéros en grilles simples, cela représente 126 x 2 euros, soit 252 euros : exactement le même prix que la grille multiple de 10 numéros.

Cette équivalence est respectée avec tous les autres Lottos ainsi que Euro Millions. Donc, jouer un multiple, ou l'équivalent en bulletins simples, ne permet pas de réaliser d'économies.

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Une simple question de choix, vraiment ?

Trait...

Arrivé à ce point, la plupart des joueurs cessent d'étudier la question : ils concluent à l'impossibilité de départager les bulletins multiples et les bulletins simples.

En effet, nous aurions pu nous en tenir là, nous aussi.

Sauf que... les probabilités permettant de départager n'étant pas fournies par les sociétés de loteries (curieux, non ?), nous en avons déduit qu'il y avait forcément une pièce d'or cachée sous le tapis... Alors, nous avons mis des piles neuves dans nos calculettes, acheté des tubes d'aspirine, et continué nos recherches.

Pour départager, il suffisait de calculer les chances par rapport au prix misé...

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Comparaison au prix misé

Trait...

Pour faire cette comparaison, nous devons ramener la probabilité au dollar ou à l'euro misé. Nous avons pris comme exemple le Loto français, mais le principe de base est le même pour les autres loteries.

Prix d'une grille (Loto français)
Numéros à 5 à 6 à 7 à 8 à 9
Mise (EUR) 2 12 42 112 252

Ensuite, en utilisant tableau des probabilités de gain au Loto français, puis en multipliant par le prix, la probabilité à l'euro misé suivante est obtenue (à l'arrondi) :

Probabilité à l'euro misé (Loto français)
Numéros Grille Simple de 5 n° Grilles Multiples
à 6 n° à 7 n° à 8 n° à 9 n°
5+1N 1 sur 38 137 680 1 sur 38 137 680 1 sur 38 137 680 1 sur 38 137 680 1 sur 38 137 680
5 1 sur 4 237 520 1 sur 4 237 520 1 sur 4 237 520 1 sur 4 237 520 1 sur 4 237 520
4+1N 1 sur 173 353 1 sur 354 769 1 sur 544 824 1 sur 744 150 1 sur 953 442
4 1 sur 19 261 1 sur 39 419 1 sur 60 536 1 sur 82 683 1 sur 105 938
3+1N 1 sur 4 031 1 sur 12 670 1 sur 26 577 1 sur 46 509 1 sur 73 342
3 1 sur 448 1 sur 1 408 1 sur 2 953 1 sur 5 168 1 sur 8 149
2+1N 1 sur 288 1 sur 1 236 1 sur 3 322 1 sur 7 155 1 sur 13 510
2 1 sur 32 1 sur 137 1 sur 369 1 sur 795 1 sur 1 501
1+1N 1 sur 56 1 sur 309 1 sur 1 022 1 sur 2 636 1 sur 5 842
0+1N 1 sur 35 1 sur 238 1 sur 941 1 sur 2 850 1 sur 7 303
Total : 1 sur 12 1 sur 61 1 sur 184 1 sur 424 1 sur 837
Source : Cap Loto

En regardant ce tableau, nous voyons que :
Note  dans la première ligne, le prix a été fixé pour donner les mêmes chances au rang maximal;
Note  pour le jackpot (5+1N), les grilles simples et multiples arrivent à égalité ;
Note  pour tous les autres rangs, les multiples donnent moins de chances à l'euro misé, qu'une grille simple.

C'est sans appel : mieux vaut jouer des grilles simples puisqu'elles donnent plus de chances, à l'euro misé, que les multiples. La conclusion est la même pour tout Lotto 6/xx ainsi que Euro Millions.

Avons-nous fait, enfin, le tour de la question ? Presque...

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Objections

Trait...

Quelques internautes nous ont écrit en nous faisant remarquer qu'une grille multiple rapporte plus qu'une grille simple. Dans une 6/49 par exemple, une grille multiple de 7 numéros, comportant 3 numéros gagnants, rapportera 4 fois plus qu'une grille simple.

Mais cet argument ne résiste pas à l'analyse. En effet, nous avons vu qu'une grille multiple = un ensemble de grilles simples. Il faut, par conséquent, comparer la grille multiple à son équivalent en grilles simples...

Par exemple, la combinaison 01 02 03 04 05 06 07 (un multiple, donc) est équivalente à l'ensemble suivant de grilles simples :

7 n° en grilles simples (loterie 6/xx)
C 1 : 01 02 03 04 05 06
C 2 : 01 02 03 04 05 07
C 3 : 01 02 03 04 06 07
C 4 : 01 02 03 05 06 07
C 5 : 01 02 04 05 06 07
C 6 : 01 03 04 05 06 07
C 7 : 02 03 04 05 06 07
Source : Cap Loto

...Et cet ensemble, pour 3 numéros gagnants, gagnera 4 fois plus qu'une seule grille simple : le résultat financier sera le donc même qu'avec un multiple. Ce sera la même chose pour tout Lotto 6/xx, le Loto français et Euro Millions.

Cela montre qu'il est préférable de remplacer les bulletins multiples, par des ensembles de grilles simples.

Avec cet exemple, nous avons dépassé les limites du calcul de probabilités puisque, sans le vouloir vraiment, nous sommes arrivés dans le domaine de l'énumération lexicographique des combinaisons, porte d'entrée des systèmes réducteurs...

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La manière la plus coûteuse de jouer

Trait...

Supposons un joueur utilisant un bulletin multiple de 9 numéros au Loto français : il lui en coûtera 252 euros. S'il joue l'équivalent en grilles simples, il dépensera 126 x 2 euros = 252 euros : exactement la même chose.

Pourrait-on aller plus loin ? Dans le but de payer moins cher tout en jouant plus de numéros ?

Oui, mais avec d'autres techniques : il s'agira, en l'occurence, de réduction combinatoire. Celle-ci nous permettra de réaliser de très importantes économies avec les systèmes réducteurs de mise, qui sont une véritable arme de destruction massive des coûts.

Par exemple, si nous jouons nos 9 numéros en bulletins simples, rien ne nous oblige à jouer 126 grilles. Mais quelle sera la garantie et le prix ?

Rapport prix / garantie (Loto français, grilles simples) Les garanties indiquées ci-contre n'incluent pas le N°Chance. Pour garantir celui-ci, il faudrait multiplier la mise par 10.
 
Pour les bulletins multiples, même chose : de plus, sur ceux du Loto français, lorsque l'on joue 10 N°Chance, on ne peut pas dépasser 6 numéros.
Garantie Condition n° joués Nombre de grilles Prix (EUR)
5 si 5 9 126 252
4 si 5 9 9 18
3 si 5 9 2 4
2 si 5 9 2 4
Source : Cap Loto

Ce tableau montre que :
- en première ligne, si nous avons 5 numéros gagnants parmi les 9 joués, nous aurons une combinaison gagnante avec 5 numéros (coût : 252 euros).
- en deuxième ligne, si nous avons 5 numéros gagnants parmi les 9 joués, nous aurons une combinaison gagnante avec 4 numéros (coût : 18 euros). Dans ce cas, cela donnera aussi un gain intéressant.

Enfin, il convient de remarquer que les chances d'avoir 5 numéros gagnants, lorsque seulement 9 ont été joués, sont assez faibles. Si l'on joue aussi peu de numéros, mieux vaut le faire pour le moins cher possible...

Sans vouloir être mauvaise langue, cet exemple montre qu'un bulletin multiple est la manière la plus coûteuse de jouer.

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Une méthode pour économiser plus de 230 euros

Trait...

Vérifiez si vous êtes bien assis avant d'aller plus loin. Voici pourquoi :

Note  le tableau "Rapport Prix/Garantie" ci-dessus montre que, pour jouer 9 numéros, il suffit de 9 grilles seulement pour gagner à 4 numéros, si 5 sont bons parmi les 9 joués.
Note  La dépense sera alors de 18 euros au lieu de 252.
Note  l'économie réalisée sera de 234 euros !

Pour cela, il suffit de jouer un système réducteur de garantie 4 si 5 parmi 9. Pour les utilisateurs enregistrés, celui-ci se trouve dans le Kit de Systèmes Réducteurs Loto français sur Cap Loto Private : SR_5+1NC_(9_numeros+9_NC_9_grilles).txt.

Donc, désormais, vous avez le choix entre :
Note  soit jouer 9 numéros en grille multiple pour 252 euros.
Note  ou jouer 9 numéros en 9 grilles simples pour 18 euros.
A vous de choisir...

Egalement, 252 / 18 = 14 et donc, pour 252 euros, cette solution permet de jouer 14 fois au lieu d'une seule !

Cela permet de comprendre pourquoi certains logiciels de Loto sont plus appréciés que d'autres : par exemple, le logiciel Cap Loto sera amorti dès le premier jeu, simplement par l'économie qu'il permet dès sa première utilisation. Déduction faite du prix d'achat et de la première mise, cette économie permettrait même de s'offrir une bouteille de champagne après (voire même plusieurs...).

De plus, le système réducteur 4 si 5 parmi 9 ne contenant que 9 grilles, nous pourrons jouer une 10e combinaison de notre choix, selon notre envie ou notre intuition, de manière à garantir un N°Chance aussi, au passage... (voir Loto français : gagner à tous les coups)

Si vous voulez étudier cette méthode de plus près, lisez Loto français : un bulletin multiple pas cher

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Conclusion

Trait...

Récapitulons ce que nous avons vu plus haut.

Les plus de la grille multiple :
Note  gain de temps : pas besoin de remplir l'équivalent en grilles simples.

Les moins de la grille multiple :
Note  chances à l'euro misé inférieures à celles des grilles simples ;
Note  ne permet pas de réaliser d'économies, puisque le prix d'une grille multiple correspond à son équivalent en grilles simples ;
Note  ne permet pas de gagner plus en définitive, puisque le gain est le même qu'avec l'équivalent en grilles simples ;
Note  pas possible de jouer plus de 9 numéros au Loto français, alors que c'est possible avec un ensemble de grilles simples ;
Note  un multiple est la manière la plus coûteuse de jouer, puisqu'on peut jouer à moindre coût avec des grilles simples en ayant aussi une garantie.

En conclusion, les grilles simples sont plus avantageuses que les grilles multiples. C'est sans appel...

Enfin, vous maîtriserez mieux les sommes jouées avec un ensemble de grilles simples, puisqu'il devient alors possible de dépenser moins grâce aux systèmes réducteurs de mise.

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Annexes : méthodes de calcul

Trait...

Vous trouverez les équations qui nous ont servi à calculer tout ce qui précède, sur la page Probabilités : comment calculer vos chances, qui s'applique également à Euro Millions.

Note  Pour le Tableau des probabilités de gain :
Comment calculer les probabilités de gain des grilles simples et multiples

Note  Pour les tableaux Equivalence Grilles Simples et Multiples, il s'agit des factorielles expliquées dans Probabilités : comment calculer vos chances

Note  Pour le tableau Comparaison des mises, il s'agit du tableau Equivalence Grilles Simples / Multiples multiplié par le prix des mises.

Note  Pour le tableau Probabilité à l'euro misé : Comment calculer les chances à l'euro misé

Note  Pour le tableau 7 n° en grilles simples : les grilles ont été obtenues avec le logiciel Cap Loto et son volet Systèmes Réducteurs.

Note  Pour le tableau Rapport prix / garantie (Loto français, grilles simples) :
il s'agit du tableau Equivalence Grilles Simples / Multiples multiplié par le prix des mises, le nombre de grilles est celui des Systèmes réducteurs correspondants.

 
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