La plupart des joueurs de Loto, EuroMillions et Keno ignorent ce que sont les systèmes réducteurs de mise, ainsi que les avantages qu'ils pourraient en retirer.

Créés avec des techniques mathématiques de réduction combinatoire, ceux-ci permettent notamment de jouer davantage de numéros qu'avec un bulletin multiple.

Or, plus l'on joue de numéros, plus les chances d'obtenir une combinaison gagnante augmentent...

Au sommaire de cette page :

1. Les deux grandes familles de systèmes
2. A quoi sert un système réducteur de mise ?
3. La garantie d'un système réducteur
4. Définition des garanties
5. L'élevation des garanties
6. Les garanties incluses
7. Les numéros de base
8. Quelle réduction pour garantir le numéro complémentaire ?
9. Comment se servir d'un système réducteur ?
10. L'art et la manière de combiner un système réducteur
11. Méthodes de construction des systèmes réducteurs
12. Pourquoi un système réducteur respecte t-il une garantie ?

Comme cet article est très complet, vous allez devenir un expert en systèmes réducteurs de mise...

Il existe deux grandes familles de systèmes :

• Système total : c'est la totalité des combinaisons possibles avec un nombre de numéros donné. Deux exemples :
  • Dans une loterie 6/49, il existe 13 983 816 combinaisons possibles avec 49 numéros.
  • Si l'on utilise 25 numéros seulement, 177 100 combinaisons sont possibles.
  • L'un et l'autre sont des systèmes totaux. Il s'agit de la totalité des combinaisons possibles avec une quantité de numéros donnée.
• Système réducteur de mise : c'est un sous-ensemble du système total.
  Mécaniquement, un effet de réduction de la mise est obtenu, puisque le système réducteur est plus petit que le système total.

Egalement, un système réducteur est défini par une garantie telle que, par exemple, 4 si 5 parmi 25, qui correspond à 4 numéros gagnants ensemble dans une combinaison, si 5 sont bons parmi 25 numéros joués.

Abréviations :
- ST pour Système Total,
- SR pour Système Réducteur.

Synonymes de Système Total :
- Full Wheel (roue complète)
- Construction Totale.

Synonymes de Système Réducteur :
- Abbreviated Wheel (roue abrégée, partielle)
- Construction Partielle.

Par extension, certains nomment combinatoire les Systèmes réducteurs en général, qu'ils soient totaux ou réduits. En effet, la réduction combinatoire est l'ensemble des méthodes permettant de construire des systèmes réducteurs.

S'il existait un permis obligatoire pour jouer au Loto, les systèmes réducteurs seraient la première chose à enseigner. Voici pourquoi.

Nous prendrons comme exemple le Loto français, avec des combinaisons gagnantes à partir de 2 numéros, considérant que gagner avec le N°Chance uniquement est trop facile, puisqu'il suffit de 10 grilles pour le garantir.

Supposons que vous ayez joué 25 numéros en 5 combinaisons, comme ceci :

C 01	03 06 10 12 15 *01
C 02	01 04 07 09 13 *02
C 03	02 05 08 11 14 *03
C 04	16 17 20 22 24 *04
C 05	18 19 21 23 25 *05

Le soir du tirage, les numéros gagnants sont : 02 07 12 22 25 *06.
Les 5 numéros gagnants sont dans vos grilles !

Malheureusement pour vous, vous ne toucherez rien, car il aurait fallu 2 numéros dans la même combinaison. Malheureusement, il n'y en a qu'un au maximum.

Sur quel principe repose un système réducteur de mise ?

Voici un autre exemple. Il est possible de trouver les 5 numéros gagnants, quels que soient les numéros sortis, en 10 combinaisons. Cela n'a rien d'extraordinaire.

C 01	01 02 03 04 05	C 02	06 07 08 09 10
C 03	11 12 13 14 15	C 04	16 17 18 19 20
C 05	21 22 23 24 25	C 06	26 27 28 29 30
C 07	31 32 33 34 35	C 08	36 37 38 39 40
C 09	41 42 43 44 45	C 10	01 46 47 48 49

Vous aurez les 5 numéros gagnants à coup sûr, étant donné que la totalité des numéros - soit 49 - a été jouée. Oui, mais...

...Rien ne garantit que vous aurez plus d'un numéro gagnant dans une combinaison. Ceux-ci peuvent se trouver répartis isolément parmi les 10 grilles jouées.

Le problème consiste donc à obtenir un minimum garanti dans une combinaison.

Autre exemple : supposons que vous vouliez jouer 7 numéros, comme avec un bulletin multiple.

La totalité des combinaisons possibles avec 7 numéros en combinaisons de 5 est de 21 combinaisons. Il s'agit donc d'un système total, ce qui est équivalent à un bulletin multiple.

C 01	01 02 03 04 05	C 02	01 02 03 04 06
C 03	01 02 03 04 07	C 04	01 02 03 05 06
C 05	01 02 03 05 07	C 06	01 02 03 06 07
C 07	01 02 04 05 06	C 08	01 02 04 05 07
C 09	01 02 04 06 07	C 10	01 02 05 06 07
C 11	01 03 04 05 06	C 12	01 03 04 05 07
C 13	01 03 04 06 07	C 14	01 03 05 06 07
C 15	01 04 05 06 07	C 16	02 03 04 05 06
C 17	02 03 04 05 07	C 18	02 03 04 06 07
C 19	02 03 05 06 07	C 20	02 04 05 06 07
C 21	03 04 05 06 07
Les 01 02 03 (etc) sont faits pour être remplacés par les 7 numéros que vous voulez jouer.

Supposons que 5 numéros soient gagnants parmi les 7 joués. Dans ce cas, vous serez certain de toucher le jackpot, puisque vous aurez joué la totalité des combinaisons possibles avec 7 numéros.

Toutefois, chaque grille coûte 2,20 €. Vous auriez dépensé 46,20 €. D'ailleurs, c'est le prix d'un bulletin multiple pour 7 numéros.

Est-il raisonnable de dépenser cette somme ? Supposons que vous ayez trouvé 5 bons numéros parmi les 7 joués. Dans ce cas, il vous faudra au moins 2 numéros ensemble dans une combinaison, mais rien ne le garantit.

C'est ici que les systèmes réducteurs entrent en scène.

Ils permettent de créer les combinaisons à jouer, tout en ayant un nombre de numéros garantis dans une combinaison.

Pour parvenir à ce résultat, le système réducteur de mise sera un sous-ensemble du système total des 21 combinaisons ci-dessus.

Jouer les 7 numéros avec un système réducteur de mise peut donner, par exemple, ceci :

C 01	01 02 03 04 05 ¤ 01
C 02	01 02 03 06 07 ¤ 02

Ci-dessus, le système réducteur est « brut ». Il faut le synchroniser afin de remplacer les 01 02 03 par vos numéros pronostiqués. Supposons que vos numéros soient :
03 - 10 - 16 - 25 - 31 - 32 - 45 - *07 - *08.

Le système ci-dessus, une fois synchronisé, donnera ceci :

C 01	03 10 16 25 31 ¤ 07
C 02	03 10 16 32 45 ¤ 08

Le soir du tirage, supposons que les numéros gagnants soient :
03 - 16 - 31 - 32 - 45 - *09
...Alors vous auriez trouvé 2 combinaisons à 3 numéros.

Vous pouvez essayer n'importe quelle combinaison contenant 5 gagnants parmi 7 numéros, il y en aura toujours une avec 2 numéros au minimum.

L'économie réalisée est importante :

Jouer 21 combinaisons ou multiple	46,20 €
Jouer 2 combinaisons simples	4,40 €
Economie	41,80 €

Avons-nous des garanties de gagner quelque chose par ce moyen ?
Oui !
La garantie de ce système est de 3 si 5 sont gagnants parmi 7 joués. Pour être certain de cette propriété, nous avons créé tous les sous-ensembles de combinaisons possibles avec les 21 du système total.

Au final, nous en avons trouvé un qui respecte la garantie à 2 numéros.

Pour aller plus vite, nous avons utilisé l'outil informatique et notre logiciel favori, disponible sur ce site.

Conclusion ?

• Nous avons fait des économies : 41,80 €.
• La garantie de ce système réducteur est de 3 numéros si 5 sont gagnants parmi 7 joués.
• Ce résultat aura été obtenu avec une mise de 4,40 € au lieu de 46,20 €.

Voilà ce que permettent les systèmes réducteurs de mise.

Quelles sont les limites ?

Jouer plus de 7 numéros est possible. C'est justement l'intérêt. En effet, plus l'on joue de numéros, plus l'on augmente ses chances.

Par exemple, rien n'interdit de jouer 25 numéros dans un système réducteur, avec une garantie connue. Si l'on joue 25 numéros au lieu de 8, les chances sont augmentées de manière assez importante.

Attention : augmenter les chances ne signifie pas garantir le jackpot.

Pourrait-on jouer les 49 numéros du Loto, de manière à avoir la certitude d'un gain ?

Oui. Dans ce cas, on gagnera à tous les coups quels que soient les numéros gagnants, puisque l'on aura joué tous les numéros.

Pour obtenir une combinaison gagnante, il faut :

• Europe, EuroMillions : 36 combinaisons pour garantir 2 numéros.
• France, Loto : 34 combinaisons pour garantir 2 numéros.
• France, Keno : 39 combinaisons de 3 pour garantir 2 numéros.
• Belgique, Lotto : 92 combinaisons pour garantir 2+C numéros.
• Suisse, Swiss Loto : 109 combinaisons pour garantir 3 numéros.
• Canada, 6/49 nationale et Québec 6/49 : 116 combinaisons en garantie 2+C numéros.
• Liban, Loto : 109 combinaisons pour garantir 3 numéros.

Il s'agit du minimum garanti, mais rien n'interdit qu'il y ait davantage de numéros gagnants. Ces combinaisons ne sont pas faites au hasard, il s'agit de systèmes réducteurs couvrant la totalité des numéros.

Ce n'est pas obligatoirement rentable puisque la mise sera supérieure au gain garanti. Ces systèmes seront toutefois rentables à certains tirages. Dans le cas des tirages non-rentables, l'intérêt aura été de récupérer une partie de sa mise, au lieu de tout perdre.

Objectifs
Toutefois, le but du jeu n'est pas de jouer les 49 numéros d'un Lotto. Sinon, il n'y aurait plus de sport. Le jeu, c'est pronostiquer une sélection de numéros. Ensuite, d'utiliser les systèmes réducteurs de mise afin de :

• Jouer un nombre de numéros adapté, pour un budget connu.
• Choisir la garantie selon la somme que nous avons décidé de jouer.

Jouer au hasard ne nous donnerait pas ces avantages.

Remarque
Lors des fêtes, si vous êtes assez nombreux (amis, famille), rien ne vous empêche d'utiliser un système réducteur couvrant la totalité des numéros. De cette manière, vous serez certain de récupérer, au minimum, une partie de la mise - au lieu de probablement rien - tout en augmentant vos chances sur le jackpot.

Avec 7 numéros, seulement 21 combinaisons sont possibles, pas une de plus. Il s'ensuit que, le soir du tirage, si les 5 numéros gagnants sont parmi nos 7 numéros joués, alors la combinaison gagnante sera forcément parmi une des 21.

Comme nous n'avons joué que 2 combinaisons parmi les 21 possibles, quelle est la couverture restante ? Voilà pourquoi nous avons besoin de connaître la garantie de ce système réducteur.

Pour contrôler la garantie, le moyen suivant est utilisé :

• On prend chacune des 21 combinaisons possibles. On les teste une à une contre les 2 combinaisons du système réducteur.
• On compte à chaque fois les combinaisons gagnantes trouvées.

Ainsi, quelle que soit la combinaison gagnante, on sait à l'avance ce que gagne le système réducteur.

Un système réducteur se comporte comme un filet de pêche. Plus la garantie est élevée, plus l'on risque de capturer du gros poisson.

Un logiciel qui teste une garantie procède ainsi :
- il ouvre le système réducteur :

C 01 :	01 02 03 04 05 *01
C 06 :	01 02 03 06 07 *02

- il le teste contre la combinaison 1 du système total :

C 01 :

01 02 03 04 05 *01

Au test de la combinaison 1, une des combinaisons contient les 5 numéros ensemble. Si cette combinaison sort le soir du tirage, alors le système réducteur gagnera le jackpot. Evidemment, il est peu probable qu'il trouve les 5 numéros ensemble, puisque nous n'avons pris que 2 combinaisons parmi les 21 possibles.

- puis il teste la combinaison 2 du système total :

C 02 :

01 02 03 04 06 *01

...et ainsi de suite jusqu'à avoir testé la totalité des 21 combinaisons.

De cette manière, le logiciel aura caculé, très exactement, le minimum garanti du système réducteur.

Ici, nous obtenons :

Trouvé à 5 N	2 fois
Trouvé à 4 N	16 fois
Trouvé à 3 N	3 fois
Total trouvé :	21 fois

Le minimum garanti est de 3 numéros gagnants dans une combinaison.

Ainsi, nous savons que :

• Nous avons 2 chances de gagner à 5 numéros.
• 16 chances de gagner à 4 numéros
• Et dans tous les cas, on obtient 3 numéros gagnants ensemble dans une combinaison, au minimum.

Comment un joueur misant au hasard pourrait-il avoir de tels avantages ?

Une garantie d'un système réducteur est définie ainsi :
- x numéros garantis si y gagnants parmi z joués.

Par exemple, une garantie de :
- 2 si 5 parmi 20,

signifie :
- 2 numéros garantis, si 5 numéros sont gagnants parmi 20.

Dans ce cas, vous jouez 20 numéros. Si 5 sont bons parmi les 20 joués, vous obtiendrez 2 numéros gagnants ensemble dans une des combinaisons.

Plus l'on joue de numéros - par exemple 20 au lieu de 7 - plus les chances qu'ils contiennent les gagnants augmentent.

Si l'on veut jouer 20 numéros en garantie 3, alors cela s'écrit :
3 si 5 parmi 20.

Si l'on veut en jouer 25 :
3 si 5 parmi 25.

Evidemment, si l'on joue :
3 si 5 parmi 49,

...Alors il est certain d'obtenir 3 numéros gagnants ensemble, quels que soient les numéros sortis, vu que la totalité des numéros a été jouée.

Jusqu'à maintenant, nous avons étudié les garanties de 2 et 3 numéros. Pourquoi ne pas aller plus loin ?

On peut élever les garanties de 3 manières :

• Soit augmenter le 1er argument (nombre de numéros garantis).
• Soit diminuer le 2e argument (le « Si »...).
• Soit augmenter le 3e argument (le « Parmi »...).

Quelques exemples...

4 si 5 parmi 16 : (1er argument : nombre de numéros garantis)
4 numéros garantis si 5 gagnants parmi 16.

4 si 5 parmi 16 : (2e argument : le « Si »...)
4 numéros garantis si 5 gagnants parmi 16.

4 si 5 parmi 25 : (3e argument : le « Parmi »...)
4 numéros garantis si 5 gagnants parmi 25.

Elever les garanties a pour objectif :
- d'augmenter le rang des combinaisons gagnantes ;
- d'augmenter le rang de gain.

Un système réducteur de garantie élevée englobe les garanties inférieures, à la manière d'un système pyramidal. Cela augmente le rapport obtenu, permettant de « rafler » tous les rangs contenus dans la garantie la plus forte.

Cela est résumé dans le tableau ci-dessous :

Tableau des garanties incluses
6 si 6	5 si 5	4 si 4	3 si 3
6 si 7	5 si 6	4 si 5	3 si 4
	5 si 7	4 si 6	3 si 5
		4 si 7	3 si 6
			3 si 7
Source : Cap Loto

Les garanties des colonnes de gauche englobent celles de droite.
Les garanties du dessus englobent les garanties du dessous.

Exemple : la garantie de 4 si 4 englobe :

• 4 si 5
• 4 si 6
• 4 si 7
• 3 si 3
• 3 si 4
• 3 si 5
• 3 si 6
• 3 si 7

Cela signifie que, si vous n'avez que 4 numéros gagnants parmi ceux joués, une 4 si 4 permettra de :
- gagner avec 4 numéros ;
- et aussi à 3,
- également au rang 2 s'il existe dans votre loterie.

Les garanties incluses sont donc un point important qui n'est pas à négliger.

Les numéros de base permettent de réduire encore plus la taille des systèmes réducteurs.

Un système réducteur à 1 numéro de base, contient 01 dans chacune de ces combinaisons, comme ceci :
C 0001 : 01 02 03 04 05
C 5782 : 01 06 07 08 09
C 8807 : 01 10 11 12 13
C 10132 : 01 14 15 16 17
C 10557 : 01 18 19 20 21
C 10626 : 01 22 23 24 25
Ici, il s'agit d'un SR 2 si 5 parmi 25 à 1 numéro de base.

Sans numéro de base, ce SR aurait contenu ceci :
C 0001 : 01 02 03 04 05
C 5782 : 01 06 07 08 09
C 8807 : 01 10 11 12 13
C 10132 : 01 14 15 16 17
C 10557 : 01 18 19 20 21
C 10626 : 01 22 23 24 25
C 15088 : 02 06 10 14 18
C 16006 : 02 07 11 15 19
C 16774 : 02 08 12 16 20
C 17409 : 02 09 13 17 21
C 22516 : 03 06 11 16 21
C 23248 : 03 07 10 17 20
C 24135 : 03 08 13 14 19
C 24638 : 03 09 12 15 18
C 28585 : 04 06 12 17 19
C 29458 : 04 07 13 16 18
C 29897 : 04 08 10 15 21
C 30537 : 04 09 11 14 20
C 33480 : 05 06 13 15 20
C 34221 : 05 07 12 14 21
C 34847 : 05 08 11 17 18
C 35309 : 05 09 10 16 19
22 grilles en tout, soit 16 de plus que dans l'exemple précédent.

Une seule condition à cette réduction supplémentaire :
il est absolument impératif que votre numéro de base soit parmi les gagnants.

Afin de réduire encore plus, peut-on créer des SR à 2 numéros de base ?
Oui. Dans ce cas, toutes les combinaisons du SR contiendront 01 et 02, comme ceci :
C 001 : 01 02 03 04 05
C 792 : 01 02 06 07 08
C 987 : 01 02 09 10 11

Toutefois, un inconvénient : si l'un des deux numéros de base n'est pas gagnant, la garantie ne pourra pas être respectée. Dans ce cas, seule restera la couverture résiduelle du système.

Pour cette raison, il faut déconseiller d'utiliser plus d'un numéro de base.

Le numéro complémentaire n'existe plus dans le Loto français. Le N°Chance qui l'a remplacé est totalement différent, puisqu'il est issu d'une série de numéros séparée.

Toutefois, il existe toujours dans la plupart des loteries mondiales de type 6/49. Aussi, la question reste valable : quelle garantie correspond au numéro complémentaire ? Instinctivement, la plupart des joueurs la définissent comme, par exemple, 2+C si 6. Mais dans ce cas, c'est une 3 si 7...

En effet, nous devons considérer :
- une combinaison gagnante de 7 numéros - et non plus de 6 - car le 7e est le complémentaire ;
- le complémentaire s'additionne alors aux numéros de garantie : 2+C devient 3.
En résumé, 3 numéros sont gagnants parmi 7, l'un des 3 numéros est le complémentaire.

Cela donne le tableau de correspondance suivant :

2+C si 6	=	3 si 7
3+C si 6	=	4 si 7
4+C si 6	=	5 si 7
5+C si 6	=	6 si 7

Cela permet de connaître la garantie nécessaire pour obtenir le numéro complémentaire à chaque rang.

A partir du système réducteur, il s'agit de créer les combinaisons à jouer.

Or, notre système réducteur se présente ainsi :

C 01 :	01 02 03 04 05 06
C 06 :	01 02 03 04 07 08
C 15 :	01 02 05 06 07 08
C 28 :	03 04 05 06 07 08

Allons-nous le jouer tel quel ? Non, parce que ce système est brut, natif, vierge, jamais utilisé. En effet, les numéros que nous voulons jouer y figurent-ils ? Non.

Les 01 02 03 04 qu'il contient sont, en réalité, des emplacements :

• Le 01 est l'emplacement de votre 1er numéro à jouer.
• Le 02 est celui de votre 2e numéro.
• Le 03 est celui de votre 3e numéro.
• Et ainsi de suite.

Il faut donc mettre vos numéros dans leurs emplacements respectifs. Cela s'appelle « créer les combinaisons » ou encore « synchroniser les numéros ». Il s'agit de remplacer les 01 02 03 par vos numéros à jouer. Si cela est fait manuellement, c'est un travail assez répétitif. Des erreurs sont à craindre pour cette raison. Un logiciel est préférable pour effectuer cette opération.

Lorsque l'on synchronise les numéros à jouer dans un système réducteur, le 01 sera remplacé par votre 1er numéro pronostiqué, le 02 par votre 2e numéro et ainsi de suite. Afin d'éviter les erreurs, cette opération sera faite, de préférence, avec un logiciel.

Ce logiciel doit être capable de combiner les numéros dans l'ordre où vous le souhaitez

Par exemple, il faut que vous puissiez obtenir :
01 remplacé par 1er numéro pronostiqué
02 remplacé par 2e numéro pronostiqué
03 remplacé par 3e numéro pronostiqué
04 remplacé par 4e numéro pronostiqué
05 remplacé par 5e numéro pronostiqué
06 remplacé par 6e numéro pronostiqué

ou bien un ordre différent :
01 remplacé par 6e numéro pronostiqué
02 remplacé par 4e numéro pronostiqué
03 remplacé par 2e numéro pronostiqué
04 remplacé par 5e numéro pronostiqué
05 remplacé par 3e numéro pronostiqué
06 remplacé par 1er numéro pronostiqué

Cela permet alors de faire prédominer dans un SR, les numéros en lesquels vous croyez le plus. Cela sert également à combiner le numéro de base souhaité pour remplacer les 01.

Exemple de synchronisation de numéros à un système réducteur de mise

Dans Cap Loto, voici le pavé de sélection des numéros. Les numéros en gris sont les numéros qui seront combinés au système réducteur.

Voici l'écran qui permet de régler l'ordre de synchronisation :

Pour modifier l'ordre dans lequel les numéros sont synchronisés, deux solutions :
- soit cliquer sur les numéros dans un ordre différent ;
- soit utiliser les flèches vertes pour modifier l'ordre des numéros.

Si vous voulez faire passer un numéro en numéro de base, faites-le monter en haut de liste avec les flèches vertes. Ci-dessous, le 49 a été monté en numéro de base. Dès lors, tous les 01 du système réducteur seront remplacés par le 49 dans le fichier de jeu.

Vous pouvez ainsi obtenir tous ordres de synchronisation des numéros, comme le montre la capture d'écran qui suit.

Ainsi, il n'existe aucune restriction à l'ordre que l'on peut donner aux numéros.

Plusieurs méthodes de construction existent, notamment :

• l'élimination d'une partie des combinaisons du système total ;
• le scan systématique de tous les sous-ensembles possibles du système total ;
• la construction soit en ordre lexicographique, soit en ordre absolu, à pas plus ou moins variables ;
• la construction à partir des combinaisons les plus couvrantes (greedy algorythm, employé par Covermaster) ;
• la construction à partir des combinaisons les plus couvrantes, mais en revenant en arrière à chaque node pour limiter la dérive (simulated annealing) ;
• la construction aléatoire à itérations multiples avec schrinking (Ininuga).

Il existe certainement d'autres techniques plus confidentielles. Mais, jusqu'à maintenant, personne n'a prétendu connaître une solution pour trouver directement la réduction la plus petite.

Ce sont les combinaisons, ainsi que les sous-combinaisons contenues dans un système réducteur, qui permettent à celui-ci de couvrir une garantie :
- pour les garanties de 3, tout repose sur les sous-combinaisons de 3 numéros ;
- pour les garanties de 4, sur les sous-combinaisons de 4 numéros ;
- pour les combinaisons de 5, sur les sous-combinaisons de 5 numéros ;
- et ainsi de suite.

Ces sous-combinaisons sont aussi appelées des blocs. Par exemple, la combinaison 01 02 03 04 05 contient 10 blocs de 3 numéros.

1. 01 02 03
2. 01 02 04
3. 01 02 05
4. 01 03 04
5. 01 03 05
6. 01 04 05
7. 02 03 04
8. 02 03 05
9. 02 04 05
10. 03 04 05

Il faut qu'une sous-combinaison de la combinaison gagnante corresponde à l'un de ces blocs. Voilà pourquoi certains joueurs utilisent des systèmes réducteurs qui, pourtant, ne sont pas les plus réduits possibles. Leurs chances sont augmentées par les blocs supplémentaires.